Олимпиадные задачи из источника «Рамблер-Наука - задача дня (www.nature.ru)» для 9-10 класса - сложность 1 с решениями

Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного – за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство:  <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.

Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.

Поезд проходит мимо наблюдателя в течение <i>t</i>₁ секунд, при той же скорости он проходит через мост длиной в <i>a</i> метров в течение <i>t</i>₂ секунд.

Найти длину и скорость поезда.

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

В коридоре длиной 100 м постелено 20 дорожек общей длиной 1 км. Ширина каждой дорожки равна ширине коридора.

Какова максимально возможная суммарная длина незастеленных участков коридора?

Внутри выпуклого многоугольника расположены две точки.

Докажите, что найдётся четырёхугольник с вершинами в вершинах этого многоугольника, содержащий эти две точки.

Существуют ли четыре подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является степенью (большей 1) другого натурального числа?

В пространстве даны параллелограмм <i>ABCD</i> и плоскость <i>M</i>. Расстояния от точек <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> до плоскости <i>M</i> равны соответственно <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>.

Найти расстояние <i>d</i> от вершины <i>D</i> до плоскости <i>M</i>.

Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?

В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну сторону от П (AB не параллельно П). Рассматриваются сферы, проходящие через точки A и B, касающиеся плоскости П. Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П лежат на одной окружности.

Найдите последние две цифры в десятичной записи числа  1! + 2! + ... + 2001! + 2002!.

Докажите, что не существует многогранника, у которого было бы ровно семь рёбер.

Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?

Из произвольной точки круглого бильярдного стола пущен шар. Докажите, что внутри стола найдётся такая окружность, что траектория шара её ни разу не пересечёт.

Существуют ли несколько невыпуклых многоугольников, из которых можно составить выпуклый?

В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60⁰.

Есть три кирпича и линейка. Как измерить без вычислений диагональ кирпича?

Пусть x - некоторое натуральное число. Среди утверждений:<table> 2x больше 70; </table><table> x меньше 100; </table><table> 3x больше 25; </table><table> x не меньше 10; </table><table> x больше 5; </table>три верных и два неверных. Чему равно x?

Дан треугольник со сторонами 2, 3, 4. Найдите радиус наименьшего круга, из которого можно вырезать этот треугольник.

У деда Мороза бесконечное число конфет. За минуту до Нового года дед Мороз дает детям 100 конфет, а Снегурочка одну конфету отбирает. За полминуты до наступления Нового года дед Мороз дает детям еще 100 конфет, а Снегурочка снова одну конфету отбирает. То же самое повторяется за 15 секунд, за 7,5 секунд и т.д. до Нового года. Докажите, что Снегурочка сможет к Новому году отобрать у детей все конфеты.

В график функции, симметричной относительно оси ординат, вписана "ёлочка" высотой 1. Известно, что "ветки" ёлочки составляют угол 45⁰с вертикалью. Найдите периметр ёлочки (т.е. сумму длин всех зеленых отрезков).

Стороны синего и зеленого правильных треугольников соответственно параллельны. Периметр синего треугольника равен 4, а периметр зеленого треугольника равен 5. Найдите периметр шестиугольника, полученного в пересечении этих треугольников.

Сколько осей симметрии может быть у треугольника?

Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля.)