Олимпиадные задачи по теме «Доказательство от противного» для 7 класса - сложность 3 с решениями

В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна <i>a</i>, а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна <i>b</i>. Докажите, что  <i>a = b</i>.

Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую.

Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

Медианы<i> AA' </i>и<i> BB' </i>треугольника<i> ABC </i>пересекаются в точке<i> M </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/110762/problem_110762_img_2.gif"> AMB=</i>120<i>^o </i>. Докажите, что углы<i> AB'M </i>и<i> BA'M </i>не могут быть оба острыми или оба тупыми.

В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?

Натуральное число <i>n</i> назовём хорошим, если каждое из чисел <i>n</i>,   <i>n</i> + 1,  <i>n</i> + 2  и  <i>n</i> + 3  делится на сумму своих цифр. (Например,  <i>n</i> = 60398  – хорошее.)

Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида<center> <img src="/storage/problem-media/110013/problem_110013_img_2.gif"> </center>все цвета различны. Докажите, что и в любой фигуре вида<center> <img src="/storage/problem-media/110013/problem_110013_img_3.gif"> </center>все цвета различны.

Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет?

Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.

Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.

Дан треугольник <i>ABC</i> с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники <i>ABC</i>₁, <i>BCA</i>₁ и <i>CAB</i>₁. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ не может быть правильным.

а) Докажите, что если в 3<i>n</i> клетках таблицы 2<i>n</i>×2<i>n</i> расставлены 3<i>n</i> звёздочек, то можно вычеркнуть <i>n</i> столбцов и <i>n</i> строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.

б) Докажите, что в таблице 2<i>n</i>×2<i>n</i> можно расставить  3<i>n</i> + 1  звёздочку так, что при вычеркивании любых <i>n</i> строк и любых <i>n</i> столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.

Рассматривается последовательность слов из букв "A" и "B". Первое слово – "A", второе – "B". <i>k</i>-е слово получается приписыванием к (<i>k</i>–2)-му слову справа (<i>k</i>–1)-го (так что начало последовательности имеет вид:  "A", "B", "AB", "BAB", "ABBAB", ...).  Может ли в последовательности встретиться "периодическое" слово, то есть слово, состоящее из нескольких (по меньшей мере двух) одинаковых кусков, идущих друг за другом, и только из них?

2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и вынимать яблоки из корзин.

Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.

  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?

  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

Можно ли в кружочках расставить все цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма трёх чисел по любому из шести отрезков была бы одной и той же? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88335/problem_88335_img_2.gif"></div>

В городе одна синяя площадь и <i>n</i> зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2<i>n</i> улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой – уехать. Докажите, что с каждой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73799/problem_73799_img_2.gif"></div>

На острове живут красные, синие и зелёные хамелеоны. 35 хамелеонов встали в круг. Через минуту все они одновременно поменяли цвет, каждый на цвет одного из своих соседей. Ещё через минуту снова все одновременно поменяли цвета на цвет одного из своих соседей. Могло ли оказаться, что каждый хамелеон побывал и красным, и синим, и зелёным?

Можно ли так расставить цифры 1, 2, ..., 8 в клетках   а) буквы Ш;   б) полоски (см. рис.), чтобы при любом разрезании фигуры на две части сумма всех цифр в одной из частей делилась на сумму всех цифр в другой? (Резать можно только по границам клеток. В каждой клетке должна стоять одна цифра, каждую цифру можно использовать только один раз.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65980/problem_65980_img_2.gif"></div>

Среди актеров театра Карабаса Барабаса прошёл шахматный турнир. Каждый участник сыграл с каждым из остальных ровно один раз. За победу давали один сольдо, за ничью – полсольдо, за поражение не давалось ничего. Оказалось, что среди каждых трёх участников найдётся шахматист, заработавший в партиях с двумя другими ровно 1,5 сольдо. Какое наибольшее количество актеров могло участвовать в таком турнире?

Вася нарисовал карандашом разбиение клетчатого прямоугольника на прямоугольники размером 3×1 (тримино), закрасил ручкой центральную клетку каждого из получившихся прямоугольников, после чего стер карандашные линии. Всегда ли можно восстановить исходное разбиение?

На полоске 1×<i>N</i> на 25 левых клетках стоят 25 шашек. Шашка может ходить на соседнюю справа свободную клетку или перепрыгивать через соседнюю справа шашку на следующую за ней клетку (если эта клетка свободна), движение влево не разрешается. При каком наименьшем <i>N</i> все шашки можно поставить без пробелов в обратном порядке?

Незнайка хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Знайка утверждает, что это невозможно. Прав ли Знайка?

Вершины правильного 2<i>n</i>-угольника <i>A</i>₁...<i>A</i>_2<i>n</i> разбиты на <i>n</i> пар.

Докажите, что если  <i>n</i> = 4<i>m</i> + 2  или  <i>n</i> = 4<i>m</i> + 3,  то две пары вершин являются концами равных отрезков.

Окружность разбита точками на 3<i>k</i> дуг: по <i>k</i> дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.