Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические методы» для 5 класса - сложность 2 с решениями
Алгебраические методы
НазадДва фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Он выбирает из них 13 карточек и передаёт первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 11 карточек и, перемешав, передаёт эти три карточки второму фокуснику. Каким образом фокусники могут договориться так, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трёх карточек добавил зритель?
На доске записано число 61. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на это место произведение его цифр, увеличенное на 13. После первой минуты на доске записано 19 (6·1 + 13 = 19). Какое число можно будет прочитать на доске через час?
На клетки шахматной доски положили рисовые зёрнышки. Количества зёрнышек на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличались ровно
на 1. При этом на одной из клеток доски лежало три зёрнышка, а на другой – 17 зёрнышек. Петух склевал все зёрнышки с одной из главных диагоналей доски, а курица – с другой. Сколько зёрен досталось петуху и сколько курице?
На складах двух магазинов хранится пшено: на первом складе на 16 тонн больше, чем на втором. Каждую ночь ровно в полночь владелец каждого магазина ворует у своего конкурента четверть имеющегося на его складе пшена и перетаскивает на свой склад. Через 10 ночей воришек поймали. На каком складе в момент их поимки было больше пшена и на сколько?
Верёвочку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а затем все слои верёвочки разрезали в одном месте.
Какова могла быть длина верёвочки, если известно, что какие-то два из полученных кусков имели длины 9 метров и 4 метра?
На острове рыцарей и лжецов путешественник пришёл в гости к своему знакомому рыцарю и увидел его за круглым столом с пятью гостями.
– Интересно, а сколько среди вас рыцарей? – спросил он.
– А ты задай каждому какой-нибудь вопрос и узнай сам, – посоветовал один из гостей.
– Хорошо. Скажи мне каждый: кто твои соседи? – спросил путешественник.
На этот вопрос все ответили одинаково.
– Данных недостаточно! – сказал путешественник.
– Но сегодня день моего рождения, не забывай об этом, – сказал один из гостей.
– Да, сегодня день его рождения! – сказал его сосед.
И путешественник смог узнать, сколько за столом рыцарей. Действительно, сколько же их?
Какие цифры могут стоять на месте букв в примере <i>AB·C = DE</i>, если различными буквами обозначены различные цифры и слева направо цифры записаны в порядке возрастания?
Каждый из четырех инопланетян умеет писать только две буквы. Кра умеет писать<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_2.gif"> </i>и<i> Δ </i>; Кре – буквы<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_3.gif"> </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_2.gif"> </i>; Кру – буквы<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_3.gif"> </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_4.gif"> </i>, Крю – буквы<i> Δ </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/111233/problem_111233_img_4.gif"> </i>. Они оставили...
Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы – 10% от помола, осталось ровно 100 фунтов муки?
Потерь при помоле нет.
На кошачьей выставке каждый посетитель погладил ровно трех кошек. При этом оказалось, что каждую кошку погладили ровно три посетителя. Докажите, что посетителей было ровно столько же, сколько кошек.
Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
Имеются 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Какое наименьшее число попыток надо сделать, чтобы наверняка открыть все чемоданы? А сколько понадобится попыток, если ключей и чемоданов будет не по 6, а по 10?
Катя каждый день ест на завтрак либо кашу, либо яичницу, либо сырники, но никогда не ест два дня подряд одно и то же. В течение двух недель Катя записывала, чем она завтракала. Оказалось, что сырники она ела в два раза чаще, чем кашу. Сколько раз за эти две недели Катя завтракала яичницей?
Впишите вместо звёздочек шесть различных цифр так, чтобы все дроби были несократимыми, а равенство верным: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65605/problem_65605_img_2.png">.
У Незнайки есть пять карточек с цифрами: 1, 2, 3, 4 и 5. Помогите ему составить из этих карточек два числа – трёхзначное и двузначное – так, чтобы первое число делилось на второе.
Имеется набор из двух карточек: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_3.gif">. За одну операцию разрешается составить выражение, использующее числа на карточках, арифметические действия, скобки. Если его значение – целое неотрицательное число, то его выдают на новой карточке. (Например, имея карточки <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_4.gif">, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_5.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_6.gif"...
После хоккейного матча Антон сказал, что он забил 3 шайбы, а Илья только одну. Илья сказал, что он забил 4 шайбы, а Серёжа целых 5. Серёжа сказал, что он забил 6 шайб, а Антон всего лишь две. Могло ли оказаться так, что втроём они забили 10 шайб, если известно, что каждый из них один раз сказал правду, а другой раз солгал?
На турнире им. Ломоносова в институте МИМИНО были конкурсы по математике, физике, химии, биологии и бальным танцам. Когда турнир закончился, выяснилось, что на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников, и каждый школьник участвовал в нечётном количестве конкурсов. Чётное или нечётное число школьников пришло на турнир в МИМИНО?
За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?
В 15-этажном доме имеется лифт с двумя кнопками: "+7" и "–9" (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/131354">131354</a>). Можно ли проехать с 3-го этажа на 12-й?