Олимпиадные задачи по теме «Теория множеств» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями
Теория множеств
НазадПосле обеда на <i>прозрачной</i> квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади <i>S</i>. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна <i>S</i><sub>1</sub>. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна <i>S</i>. Какое наименьшее значение может принимать величина <i>S</i><sub>1</sub> : <i>S</i>?
На собрание пришло <i>n</i> человек (<i>n</i> > 1). Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых.
а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.
б) Покажите, что <i>n</i> может быть больше 4.
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?
Дано 101-элементное подмножество <i>A</i> множества <i>S</i> = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых <i>t</i><sub>1</sub>, ..., <i>t</i><sub>100</sub> из <i>S</i> множества <i>A<sub>j</sub></i> = {<i>x + t<sub>j</sub></i> | <i>x</i> ∈ <i>A; j</i> = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
В пространстве даны<i> n </i>точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы<i> n-</i>3точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих<i> n-</i>3точек.
В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.
Члены Государственной Думы образовали фракции так, что для любых двух фракций<i> A </i>и<i> B </i>(не обязательно различных)<i> <img src="/storage/problem-media/109909/problem_109909_img_2.gif"> </i>– тоже фракция (через<i> <img src="/storage/problem-media/109909/problem_109909_img_3.gif"> </i>обозначается множество всех членов Думы, не входящих в<i> C </i>). Докажите, что для любых двух фракций<i> A </i>и<i> B </i><i> A<img src="/storage/problem-media/109909/problem_109909_img_4.gif"> B </i>– также фракция.
На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых<i> k+</i>1квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на2<i>k-</i>1непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.
Пусть<i> M={x<sub>1</sub>, .., x</i>30<i>} </i>– множество, состоящее из 30 различных положительных чисел;<i> A<sub>n</sub> </i>(1<i><img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> n<img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> </i>30) – сумма всевозможных произведений различных<i> n </i>элементов множества<i> M </i>. Докажите, что если<i> A</i>15<i>>A</i>10, то<i> A<sub>1</sub>></i>1.
Числовое множество<i> M </i>, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов<i> a,b,c </i>из<i> M </i>число<i> a</i>2<i>+bc </i>рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное<i> n </i>, что для любого<i> a </i>из<i> M </i>число<i> a<img src="/storage/problem-media/109780/problem_109780_img_2.gif"> </i>рационально.
Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из2<i>k </i>элементов (<i> k </i>– фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из(<i>k+</i>1)<i><sup>2</sup> </i>элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
У каждого из жителей города<i> N </i>знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города<i> N </i>из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.
Фигура Ф представляет собой пересечение <i>n</i> кругов (<i>n</i> ≥ 2, радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф? (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)
На прямоугольном экране размером <i>m</i>×<i>n</i>, разбитом на единичные клетки, светятся более (<i>m</i> – 1)(<i>n</i> – 1) клеток. Если в каком-либо квадрате 2×2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы одна клетка.
Дано натуральное число <i>N</i>. С ним производится следующая операция: каждая цифра этого числа заносится на отдельную карточку (при этом разрешается добавлять или выбрасывать любое число карточек, на которых написана цифра 0), и затем эти карточки разбивают на две кучи. В каждой из них карточки располагаются в произвольном порядке, и полученные два числа складываются. С полученным числом <i>N</i><sub>1</sub> проделывается такая же операция, и т.д. Докажите, что за 15 шагов из <i>N</i> можно получить однозначное число.
Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа <i>n</i> существуют ровно <i>n</i> карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.
Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2<i>n</i>, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78237/problem_78237_img_2.gif">
В школе изучают 2<i>n</i> предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78166/problem_78166_img_2.gif"> .
(Мы считаем, что ученик <i>p</i> учится лучше ученика <i>q</i>, если у <i>p</i> оценки по всем предметам не ниже, чем у <i>q</i>, а по некоторым предметам – выше.)
Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число.<span class="prim">(Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.)</span>Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число<nobr>(не пересекающих</nobr>друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?
24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".
а) На рисунке слева изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73735/problem_73735_img_2.gif"></div>б) На рисунке справа девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую <i>конфигурацию Паскаля</i>. Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, ко...
Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа, <i>k ≤ n</i>. Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
<i>P</i> и <i>Q</i> – подмножества множества выражений вида (<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>), где <i>a<sub>i</sub></i> – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа <i>k</i> (таких выражений всего <i>k<sup>n</sup></i>). Для каждого элемента (<i>p</i><sub>1</sub>, ..., <i>p<sub>n</sub></i>) множества <i>P</i> и каждого элемента (<i>q</i><sub>1</sub>, ..., <i>q<sub>n</sub></i>) множества <i>Q</i> существует хотя бы один такой номер <i>m</i>, что...
<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа, <i>m</i> < <i>n</i>. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73673/problem_73673_img_2.gif">