Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 3-11 класса - сложность 1 с решениями
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Разрежьте данную фигуру на три одинаковые части.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116863/problem_116863_img_2.gif"></div>
Одну сторону прямоугольника увеличили в 3 раза, а другую уменьшили в 2 раза и получили квадрат.
Чему равна сторона квадрата, если площадь прямоугольника 54 м²?
Можно ли сложить какой-нибудь квадрат из трёхклеточных уголков (см. рис.)?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116843/problem_116843_img_2.gif"></div>
У двух равнобедренных треугольников равны основания и радиусы описанных окружностей. Обязательно ли эти треугольники равны?
Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички, разбитый на треугольники со стороной в одну спичку (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116655/problem_116655_img_2.gif"></div>А сколько спичек потребуется, чтобы сложить ромб со стороной в 10 спичек, разбитый на такие же треугольники со стороной в одну спичку?
Покажите, как разрезать квадрат размером 5×5 клеток на "уголки" шириной в одну клетку так, чтобы все "уголки" состояли из разного количества клеток. (Длины "сторон" уголка могут быть как одинаковыми, так и различными.)
В трапеции <i>ABCD</i> (<i>AD || BC</i>) из точки <i>Е</i> – середины <i>CD</i> провели перпендикуляр <i>EF</i> к прямой <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции, если <i>АВ</i> = 5, <i>EF</i> = 4.
Торт упакован в коробку с квадратным основанием. Высота коробки вдвое меньше стороны этого квадрата. Ленточкой длины 156 см можно перевязать коробку и сделать бантик сверху (как на рисунке слева). А чтобы перевязать её с точно таким же бантиком сбоку (как на рисунке справа), нужна ленточка длины 178 см. Найдите размеры коробки. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116606/problem_116606_img_2.gif"></div>
Разрежьте рамку (см. рис.) на 16 равных частей. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116603/problem_116603_img_2.gif"></div>
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>). На меньшей дуге <i>AB</i> описанной около него окружности взята точка <i>D</i>. На продолжении отрезка <i>AD</i> за точку <i>D</i> выбрана точка <i>E</i> так, что точки <i>A</i> и <i>E</i> лежат в одной полуплоскости относительно <i>BC</i>. Описанная окружность треугольника <i>BDE</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>F</i>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>BC</i> параллельны.
Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?
В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>BD</i>. Докажите, что <i>АВ</i> > <i>AD</i>.
В пространстве заданы три луча: <i>DA</i>, <i>DB</i> и <i>DC</i>, имеющие общее начало <i>D</i>, причём ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i> = 90°. Сфера пересекает луч <i>DA</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub>, луч <i>DB</i> – в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, луч <i>DC</i> – в точках <i>C</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>2</sub>. Найдите площадь треугольника <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</s...
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.
Про углы треугольника <i>ABC</i> известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_3.gif"> . Найдите величину угла <i>C</i>.
В точке В живёт Винни-Пух, а в точках К, С, П и И – его друзья Кролик, Сова, Пятачок и ослик Иа-Иа (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116471/problem_116471_img_2.gif"></div>Зимним утром Винни-Пух навестил их всех по одному разу, а потом вернулся домой. При этом он протоптал в снегу пять прямых тропинок от домика к домику, не пересекающих друг друга. Начертите как можно больше возможных маршрутов Винни-Пуха.
Разрежьте фигуру (см. рисунок) по линиям сетки на четыре равные фигуры. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116466/problem_116466_img_2.gif"></div>
Из прозрачной пленки вырезаны три квадрата с узорами, нарисованными на них чёрной краской (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116461/problem_116461_img_2.gif"></div>Нарисуйте узор, который получится при наложении этих трёх квадратов друг на друга. (Поворачивать квадраты нельзя.)
Окружность проходит через вершины <i>В</i> и <i>D</i> параллелограмма <i>АВСD</i> и пересекает его стороны <i>АВ, ВС, СD</i> и <i>DA</i> в точках <i>M, N, P</i> и <i>K</i> соответственно. Докажите, что <i>MK || NP</i>.
Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i> и проведены отрезки <i>РА</i>, <i>РВ</i>, <i>РС</i> и <i>PD</i>. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – на стороне <i>AB</i>, причём <i>AM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 3 : 1 и <i><span lang="EN">AK = KL = LB</span></i>. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLNM</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>K</i> – на стороне <i>AC</i>, причём <i>BM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 1 : 2 и <i>CK</i> : <i>AK</i> = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>AMNK</i>.
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна <i>a</i>.