Олимпиадные задачи по теме «Стереометрия» для 9 класса - сложность 1 с решениями
Стереометрия
НазадДана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).
Еще Архимед знал, что шар занимает ровно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_2.gif"> </i>объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_3.gif"> </i></center>
Точка<i> A </i>лежит в плоскости<i> α </i>, ортогональная проекция отрезка<i> AB </i>на эту плоскость равна 1,<i> AB = </i>2. Найдите расстояние от точки<i> B </i>до плоскости<i> α </i>.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми рёбрами.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите объём пирамиды.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите высоту пирамиды.
Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.
Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.
Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром<i> a </i>.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный45<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол45<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Представьте, что куб стоит на столе на одной своей вершине (так, что верхняя вершина расположена точно над нижней) и освещён прямо сверху. Какая в этом случае получается тень от куба?
Сложите шесть спичек так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника.
В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать?
Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
<i>Примечание</i>: простых чисел бесконечно много.
Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.
Если все 6 граней параллелепипеда — равные между собой параллелограммы, то они суть ромбы. Докажите.
В равнобедренном треугольнике<i>ABC</i>длина основания<i>AC</i>равна 2$\sqrt{7}$, длина боковой стороны равна 8. Точка<i>K</i>делит высоту<i>BD</i>треугольника в отношении 2:3, считая от точки<i>B</i>. Что больше: длина<i>CK</i>или длина<i>AC</i>?
Докажите, что не существует многогранника, у которого было бы ровно семь рёбер.
Есть три кирпича и линейка. Как измерить без вычислений диагональ кирпича?