Олимпиадная задача по стереометрии: объём правильной пирамиды (8-9 класс)

Олимпиадная задача по стереометрии: объём правильной четырёхугольной пирамиды

Задача

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный45^o . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = CD = AD = a , M – центр квадрата ABCD , K – середина отрезка AB .

Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PKM = 45^o .

Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM – высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM находим, что PM = MK = . Следовательно,