Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 5-8 класса

Даны различные натуральные числа <i>a</i>, <i>b</i>. На координатной плоскости нарисованы графики функций  <i>y</i> = sin <i>ax</i>,  <i>y</i> = sin <i>bx</i>  и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число <i>c</i>, отличное от <i>a</i>, <i>b</i> и такое, что график функции  <i>y</i> = sin <i>cx</i>  проходит через все отмеченные точки.

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

Дан треугольник <i>ABC, AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – его биссектрисы. Известно, что величины углов <i>A, B</i> и <i>C</i> относятся как  4 : 2 : 1.  Докажите, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>A</i>₁<i>C</i>₁.

Из вершины <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i> со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина <i>C</i> лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин <i>B</i> и <i>D</i> проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Докажите следующие равенства:

  а) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_2.gif"> = <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_3.gif"> + <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_4.gif">;

  б) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_5.gif"> = 2 cos<img width="41" height="43" align=&qu...

Докажите иррациональность следующих чисел:а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_2.gif"> ; б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_3.gif"> ; в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_4.gif"> ; г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_5.gif"> ; д)  cos 10° ; е)  tg 10° ; ж)  sin 1° ; з)  log_₂3 .

Пусть  <i>x</i> = sin 18°.  Докажите, что  4<i>x</i>² + 2<i>x</i> = 1.

В квадрате <i>ABCD</i> точки <i>K</i> и <i>M</i> принадлежат сторонам <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно, причём <i>AM</i> – биссектриса угла <i>KAD</i>.

Докажите, что  <i>AK</i> = <i>DM</i> + <i>BK</i>.

Равнобедренные треугольники <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁  (<i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>B</i>₁<i>C</i>₁)  равны. Вершины <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ расположены соответственно на продолжениях стороны <i>BC</i> за точку <i>C</i>, стороны <i>BA</i> за точку <i>A</i>, стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i>, причём  <i>...

Равнобедренные треугольники <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  и  <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁   (<i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>B</i>₁<i>C</i>₁)  подобны и  <i>BC</i> : <i>B</i>₁<i>C</i>₁ = 4 : 3.  Вершина <i>B</i>₁ расположена на стороне <i>AC</i>, вершины <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁ – соответственно на продолжениях стороны <i>BA</i>...

Равнобедренные треугольники <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  и   <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁  (<i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>B</i>₁<i>C</i>₁)  подобны и  <i>AB</i> : <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = 2 : 1.  Вершины <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ расположены соответственно на сторонах <i>CA, AB</i> и <i>BC</i>, причём   <i>A</i&g...

Равнобедренные треугольники <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁   (<i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>B</i>₁<i>C</i>₁)  подобны и  <i>AC</i> : <i>A</i>₁<i>C</i>₁ = 5 : <img width="30" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/53823/problem_53823_img_2.gif">.  Вершины <i>A</i>₁ и <i>B</i><sub>1</sub...