Олимпиадные задачи по теме «Средние величины» для 1-7 класса

Кое-кто в классе смотрит футбол, кое-кто – мультики, но нет таких, кто не смотрит ни то, ни другое. У любителей мультиков средний балл по математике меньше 4, у любителей футбола – тоже меньше 4. Может ли средний балл всего класса по математике быть больше 4?

Шахматист сыграл в турнире 20 партий и набрал 12,5 очков. На сколько партий больше он выиграл, чем проиграл?

В пифагоровой таблице умножения выделили прямоугольную рамку толщиной в одну клетку, причём каждая сторона рамки состоит из нечётного числа клеток. Клетки рамки поочередно раскрасили в два цвета – чёрный и белый. Докажите, что сумма чисел в чёрных клетках равна сумме чисел в белых клетках.

Пифагорова таблица умножения – это клетчатая таблица, в которой на пересечении <i>m</i>-й строки и <i>n</i>-го столбца стоит число <i>mn</i> (для любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i>).

Коля и Вася за ноябрь получили по 15 оценок: тройки, четвёрки и пятёрки. При этом Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, а троек столько же, сколько Вася пятёрок. Оказалось, что средний балл за ноябрь у мальчиков одинаковый. Сколько троек получил Коля в ноябре?

В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду <i>успешной</i>, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?

Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться – ещё через 15 минут зал был полон. За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?

Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал &frac15; общего количества грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал ¹/₇ часть от общего количества. Сколько было школьников?

Два совершенно одинаковых катера, имеющих одинаковую скорость в стоячей воде, проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние (по течению) и возвращаются обратно (против течения). В какой реке на эту поездку потребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?

Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?

На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня.

Антон сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он решил пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал, спускаясь вместе с милиционером по неподвижному эскалатору?

Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку – число <i>Q</i> – показатель его умственных способностей (чем больше <i>Q</i>, тем больше способности). За <i>рейтинг</i> страны принимается среднее арифметическое значений <i>Q</i> всех жителей этой страны.

  а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.

  б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?

  в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После э...

По неподвижному эскалатору человек спускается быстрее, чем поднимается. Что быстрее: спуститься и подняться по поднимающемуся эскалатору или спуститься и подняться по спускающемуся эскалатору? (Предполагается, что все скорости, о которых идет речь, постоянны, причём скорости эскалатора при движении вверх и вниз одинаковы, а скорость человека относительно эскалатора всегда больше скорости эскалатора.)

Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася – пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?

Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, что <i>A</i> выиграла у <i>B, C</i> и <i>D</i>; <i>B</i> выиграла у <i>C</i> и <i>D, C</i> выиграла у <i>D</i>.

<np>Тринадцать индюшат клевали зерно. Первый индюшонок склевал 40 зёрен; второй – 60, каждый следующий – среднее арифметическое зёрен, склеванных всеми предыдущими индюшатами. Сколько зёрен склевал 10-й индюшонок? <h3>Подсказка</h3>Вспомните свойства среднего арифметического. <h3>Решение</h3>Третий индюшонок склевал  (40 + 60):2 = 50  очков. Каждый следующий тоже склевал по 50 зёрен: если в группу чисел добавить число, равное среднему арифметическому этой группы, то среднее. арифметическое новой группы будет равно среднему арифметическому начальной группы. <h3>Ответ</h3>50 зёрен. <h3>Источники и прецеденты использования</h3> <div class="problemdetailssourcetablecontainer"> <table class="problemdetailssourcetabl...

В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.

У продавца имеются чашечные весы с неравными плечами и гири. Сначала он взвешивает товар на одной чашке, затем – на другой и берёт средний вес. Не обманывает ли он?

На числовой прямой отмечены две точки. В каком месте этой прямой расположена точка, соответствующая их среднему арифметическому?

Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды.

– Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, – сказал рулевой.

– А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машиниста, – заметил боцман. – Кроме того, я на 4 года старше матроса.

– Средний возраст команды – 28 лет, – дал справку капитан.

Сколько лет капитану?

Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды – 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?

Купец случайно перемешал конфеты первого сорта (по 3 руб. за фунт) и конфеты второго сорта (по 2 руб. за фунт). По какой цене надо продавать эту смесь, чтобы выручить ту же сумму, если известно, что первоначально общая стоимость всех конфет первого сорта была равна общей стоимости всех конфет второго сорта?

Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых он выставляет испытуемому средний балл. Закончив отвечать, Джон понял, что если бы он получил за последний тест 97 очков, то его средний балл составил бы 90; а если бы он получил за последний тест всего 73 очка, то его средний балл составил бы 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?

В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй – 80; третий – среднее арифметическое очков первых двух; четвёртый – среднее арифметическое очков первых трёх. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок? А 50-й?

Даны 10 чисел:  <i>а</i>₁ < <i>а</i>₂ < ... < <i>а</i>₁₀.  Сравните среднее арифметическое этих чисел со средним арифметическим первых шести чисел.