Олимпиадные задачи по теме «Системы счисления» для 8 класса - сложность 3 с решениями

Лиса Алиса и кот Базилио вырастили на дереве 20 фальшивых купюр и теперь вписывают в них семизначные номера. На каждой купюре есть 7 пустых клеток для цифр. Базилио называет по одной цифре "1" или "2" (других он не знает), а Алиса вписывает названную цифру в любую свободную клетку любой купюры и показывает результат Базилио. Когда все клетки заполнены, Базилио берет себе как можно больше купюр с разными номерами (из нескольких с одинаковым номером он берет лишь одну), а остаток забирает Алиса. Какое наибольшее количество купюр может получить Базилио, как бы ни действовала Алиса?

Барон Мюнхгаузен говорит, что у него есть многозначное число-палиндром (оно читается одинаково слева направо и справа налево). Написав его на бумажной ленте, барон сделал несколько разрезов между цифрами и получил на кусочках ленты числа 1, 2, ..., <i>N</i> в некотором порядке (каждое – ровно по разу). Не хвастает ли барон?

В натуральном числе <i>A</i> переставили цифры, получив число <i>B</i>. Известно, что   <img align="top" src="/storage/problem-media/111791/problem_111791_img_2.gif">   Найдите наименьшее возможное значение <i>n</i>.

Набор пятизначных чисел ${N_1, \dots, N_k}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним из чисел $N_1, \dots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $k$.

Набор пятизначных чисел<i> {N₁ </i>,<i> N_k} </i>таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел<i> N₁ </i>,<i> N_k </i>. Найдите наименьшее возможное значение<i> k </i>.

Докажите, что из любых шести четырёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.

Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

Натуральное число <i>n</i> назовём хорошим, если каждое из чисел <i>n</i>,   <i>n</i> + 1,  <i>n</i> + 2  и  <i>n</i> + 3  делится на сумму своих цифр. (Например,  <i>n</i> = 60398  – хорошее.)

Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?

К натуральному числу<i> A </i>приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до<i> A </i>. Найдите<i> A </i>.

Существуют ли такие <i>n</i>-значные числа <i>M</i> и <i>N</i>, что все цифры <i>M</i> – чётные, все цифры <i>N</i> – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи <i>M</i> или <i>N</i> хотя бы один раз и <i>M</i> делится на <i>N</i>?

Назовём десятизначное число <i>интересным</i>, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа<i> n </i>равна 100, а сумма цифр числа44<i>n </i>равна 800. Чему равна сумма цифр числа3<i>n </i>?

В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы.

Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы каждые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?

Существует ли такой квадратный трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа <i>n</i>, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число <i>P</i>(<i>n</i>) также записывается одними единицами?

Дана последовательность натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>, в которой <i>a</i>₁ не делится на 5 и для всякого <i>n</i>  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_n + b_n</i>,  где <i>b_n</i> – последняя цифра числа <i>a_n</i>. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.

Найти наименьшее натуральное число <i>A</i>, удовлетворяющее следующим условиям:

  а) его запись оканчивается цифрой 6;

  б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.

Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?

а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным.

б) Существует ли такое 1997-значное число?

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Докажите, что для любого натурального числа <i>d</i> существует делящееся на него натуральное число <i>n</i>, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что получившееся число тоже будет делиться на <i>d</i>.

Натуральное число <i>N</i> в 999...99 (<i>k</i> девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения <i>k</i> и для каждого из них приведите пример такого числа.

Покажите, что в условиях задачи <a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=105100">105100</a> нет способа, гарантирующего Грише успех за 18 попыток.

Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Считается, что он отгадал, если одну цифру он назвал правильно, а в другой ошибся не более чем на единицу (например, если задумано число 65, то 65, 64 и 75 подходят, а 63, 76 и 56 – нет). Придумайте способ, гарантирующий Грише успех за 22 попытки (какое бы число ни задумал Лёша).