Олимпиадная задача по теории чисел: делимость числа с удалённой цифрой (Галочкин А.И.)

Решение 1:   Число n можно записать в виде  n = 10^k(10a + b) + c,  где  0 ≤ c < 10^k,  b – ненулевая цифра, которую вычеркиваем, a – число, образованное цифрами, стоящими левее b. Тогда после вычеркивания получится число  n₁ = 10^ka + c.  Разность этих чисел –  n – n₁ = 10^k(9a + b).  Чтобы выполнялось условие задачи, достаточно, чтобы числа  9a + b  и  10^ka + c  делились на d.

  Если d не делится на 9, то в качестве b возьмём остаток от деления d на 9, иначе положим  b = 9.  Тогда  d – b  делится на 9, и мы возьмём  a = ¹/₉ (d – b).  Имеем  9a + b = d,  и осталось подобрать c и k, чтобы  10^ka + c  делилось на d. Пусть k – такое число, что  10^k–1 > d.  Число  10^ka + 10^k–1  разделим с остатком на d:  10^ka + 10^k–1 = dq + r,  0 ≤ r < d.  Положим  c = 10^k–1 – r > 0,  тогда  10^ka + c = dq  делится на d.

Решение 2:   Рассмотрим для произвольного натурального k число   n_k = 10^kd – d.  Пусть l – количество знаков в десятичной записи числа d. Заметим, что при  k > l  десятичная запись числа n_k выглядит следующим образом: сначала идет десятичная запись числа d – 1,  затем – серия девяток и наконец – десятичная запись числа  10^l – d.  Таким образом, при  k ≥ l  число n_k можно получить из числа n_k+1 путем вычеркивания одной из девяток в центральной части десятичной записи. Очевидно также, что все числа n_k делятся на d.

Ответ задачи отсутствует