Назад

Олимпиадная задача по математике о числе N и k-девятках — индукция и системы счисления

Задача 205106 • Сложность: 3 • 8-10 класс
Задача

Натуральное число N в 999...99 (k девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.

Авторы:
Гальперин Г. А.
Разделы:
Системы счисления Индукция Примеры и контрпримеры. Конструкции
Источники:
Московская математическая олимпиада 2001 год 9 класс Олимпиады и турниры
Количество версий:
3
Решение

Ответ:такое число существует для любогоk:Nk=9k·(10k-1). Пусть 9k= s1...st0...0(stне равно 0, нулей на конце может и не быть). Проверим, что сумма цифр числаNkравна 9k. Запишем разность чисел 9k·10kи 9k, учитывая, что 9k<10kпри любомk:  

- s1s2...st-1 st 0...0 0 ... 0 0 0...0
      s1 ... st-1 st 0...0
  s1s2...st-1 st-1 9...9 (9-s1) ... (9-st-1) (10-st) 0...0
  В нижней строчке записано числоNk. Легко видеть, что сумма его цифр равнаs1+...+st-1+9+...+9+(9+1)-s1-...-st=9k.

в записи левой части k девяток)

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет