Олимпиадные задачи по теме «Последовательности» для 11 класса - сложность 4 с решениями

Последовательность<i> a₁,a₂,.. </i>такова, что<i> a₁<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a_k+</i>1<i>=a_k+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.

В бесконечной последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... число <i>a</i>₁ равно 1, а каждое следующее число <i>a_n</i> строится из предыдущего <i>a</i>_<i>n</i>–1 по правилу: если у числа <i>n</i> наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то  <i>a_n = a</i>_<i>n</i>–1 + 1,  если же остаток равен 3, то  <i>a_n = a</i>_<i>n</i>–1 – 1.  Докажите, что в этой последовательности

  а) число 1 встреч...

Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.

В последовательности натуральных чисел {<i>a_n</i>},  <i>n</i> = 1, 2, ...,  каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных <i>n</i> и <i>m</i> выполнено неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109941/problem_109941_img_2.gif">   Докажите, что тогда  |<i>a_n – n</i>| < 2000000  для всех натуральных <i>n</i>.

В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В её клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз. При этом в каждом столбце числа различаются не более чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке.

Последовательность {<i>a_n</i>} строится следующим образом:  <i>a</i>₁ = <i>p</i>  – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, <i>a</i>_<i>n</i>+1 – период десятичной дроби ¹/_{<i>a_n</i>}, умноженный на 2. Найдите число <i>a</i>₂₀₀₃.

Докажите, что существует бесконечно много натуральных <i>n</i>, для которых числитель несократимой дроби, равной  1 + ½ + ... + ¹/_<i>n</i>,  не является степенью простого числа с натуральным показателем.

  Пусть 2<i>S</i> – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число <i>k средним</i>, если в наборе можно выбрать <i>k</i> гирек, суммарный вес которых равен <i>S</i>. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

Докажите, что если числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_m</i>  отличны от нуля и для любого целого  <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i>  (<i>n < m</i> – 1)  выполняется равенство:

<i>a</i>₁ + <i>a</i>₂·2^<i>k</i> + <i>a</i>₃·3^<i>k</i> + ... + <i>a_mm^k</i> = 0,  то в последовательности <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_m</i> ...

Докажите, что для любого натурального числа <i>a</i>₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ...,

что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109599/problem_109599_img_2.gif">   делится на  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + ... + <i>a_k</i>  при всех  <i>k</i> ≥ 1.

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – умный или дурак? В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит<i> F </i>. При каком наибольшем значении<i> F </i>всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

Для каждой пары действительных чисел<i>a</i>и<i>b</i>рассмотрим последовательность чисел<i>p</i>_n= [2{<i>an</i>+<i>b</i>}]. Любые<i>k</i>подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины<i>k</i>будет словом последовательности, заданной некоторыми<i>a</i>и<i>b</i>при<i>k</i>= 4; при<i>k</i>= 5? Примечание: [<i>c</i>] - целая часть, {<i>c</i>} - дробная часть числа <i>c</i>.

Для какого наибольшего<i>n</i>можно придумать две бесконечные в обе стороны последовательности<i>A</i>и<i>B</i>такие, что любой кусок последовательности<i>B</i>длиной<i>n</i>содержится в<i>A</i>,<i>A</i>имеет период 1995, а<i>B</i>этим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?<font size="-1">Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.</font>

В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за одного и того же кандидата из числа оставшихся. На очередных выборах баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре <i>k</i>-е место по числу голосов. Определ...

Из имеющихся последовательностей {<i>b_n</i>} и {<i>c_n</i>} (возможно, {<i>b_n</i>} совпадает с {<i>c_n</i>})  разрешается получать последовательности  {<i>b_n + c_n</i>},

{<i>b_n – c_n</i>},  {<i>b_nc_n</i>}  и  {^<i>b_n</i>/_{<i>c_n</i>}}  (если все члены последовательности {<i>c_n</i>} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последователь...

Докажите, что первые цифры чисел вида 2^2ⁿ образуют непериодическую последовательность.

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.

  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.

  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", <i>k</i>-е слово получается из (<i>k</i>–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...

  а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?

  б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

Три прямолинейных коридора одинаковой длины <i>l</i> образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем <i>r</i>. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  <i>r > ^l</i>/₃;   б)   <i>r > ^l</i>/₄;   в)   <i>r > ^l</i>/₅;   г)   <i>r > ^l</i>/₇. <div align="center"><img width="150&q...

а) Существует ли последовательность натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  <i>a_n ≤ n</i>¹⁰  при любом <i>n</i>? б) Тот же вопрос, если  <i>a_n ≤ n</i><img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79370/problem_79370_img_2.gif">  при любом <i>n</i>.

Имеется натуральное число  <i>n</i> > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2^<i>n</i> на 2, 3, 4, ..., <i>n</i>. Доказать, что сумма этих остатков больше 2<i>n</i>.

Дано:<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1966, <i>a</i>_k = $\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right.$$\displaystyle \sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right]$. </div>Найти<i>a</i>₁₉₆₆.

Даны 2ⁿконечных последовательностей из нулей и единиц, причём ни одна из них не является началом никакой другой. Доказать, что сумма длин этих последовательностей не меньше<i>n</i>^.2ⁿ.

Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.

Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).