Олимпиадные задачи по теме «Модуль числа» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть <i>l</i> – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка <i>I</i>, параллельного <i>l</i>, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число <i>C</i> (зависящее только от прямой <i>l</i>) такое, что все полученные разности не превосходят <i>C</i>.

Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что  <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)|  при всех действительных <i>x</i>.

Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Положительные числа <i>x, y, z</i> таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.

Докажите, что &nbsp<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_2.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_3.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_4.gif"> > <i>x + y + z</i>.

Существует ли функция<i> f</i>(<i>x</i>), определенная при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>и для всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>удовлетворяющая неравенству <center><i>

|f</i>(<i>x+y</i>)<i>+ sin x+ sin y|<</i>2<i>? </i></center>

Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i> = | </i>4<i> - </i>4<i>|x|| - </i>2. Сколько решений имеет уравнение<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i> = x </i>?

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение <center><i>

|x-a₁|+..+|x-a</i>50<i>|=|x-b₁|+..+|x-b</i>50<i>|,

</i></center> где<i> a₁ </i>,<i> a₂ </i>,<i> a</i>50,<i> b₁ </i>,<i> b₂ </i>,<i> b</i>50– различные числа?

Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 250. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 250. Какие значения при этих условиях может принимать величина<i>n</i>²<i>d</i>, где<i>d</i>- разность прогрессии, а<i>n</i>- число ее членов?

Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина<i>n</i>²<i>d</i>, где<i>d</i>- разность прогрессии, а<i>n</i>- число ее членов?

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_<i>a</i> – ¹/_<i>b</i>| ≤ $k$?

На улице <i>n</i> домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берёт там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берёт письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой.

  а) Решите задачу для  <i>n</i> = 5.

  б) Решите задачу для  <i>n</i> = 6.

  в) Решите задачу для произвольного <i>n</i>.

Дан числовой набор <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>. Рассмотрим функцию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_2.png">.

  а) Верно ли, что функция <i>d</i>(<i>t</i>) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>?

  б) Сравните значения <i>d</i>(<i>c</i>) и <i>d</i>(<i>m</i>), где  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_3.png">,  а <i>m</i> – медиана указанного набора.

В сейфе <i>n</i> ячеек с номерами от 1 до <i>n</i>. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в <i>i</i>-й ячейке оказалась карточка с числом <i>a_i</i>. Петя может менять местами любые две карточки с номерами <i>x</i> и <i>y</i>, платя за это  2|<i>x – y</i>|  рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более  |<i>a</i>₁ – 1| + |<i>a</i>₂ – 2| + ... + |<i>a_n – n</i>|  рублей.

Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?