Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
Сравните числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116374/problem_116374_img_2.gif">
Кусок сыра массой 1 кг разрезали на $n\geqslant 4$ кусков массами меньше 600 г. Оказалось, что их нельзя разбить на две кучки так, чтобы масса каждой кучки была не меньше 400 г, но не больше 600 г (кучка может состоять из одного или нескольких кусков). Докажите, что найдутся три таких куска, что суммарная масса любых двух из них больше 600 г.
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?
Некоторые неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=2\sqrt{abc}$. Докажите, что $bc\geqslant b+c$.
Пользуясь равенством $\lg11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n>1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство $|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}|>\frac{1}{mn}$.
Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству $$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$
Существуют ли такое натуральное $n$ и такой многочлен $P(x)$ степени $n$, имеющий $n$ различных действительных корней, что при всех действительных $x$ выполнено равенство а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$; б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
Даны две непостоянные прогрессии (<i>a<sub>n</sub></i>) и (<i>b<sub>n</sub></i>), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> = <i>b</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> : <i>b</i><sub>2</sub> = 2 и
<i>a</i><sub>4</sub> : <i>b</i><sub>4</sub> = 8. Чему может быть равно отношение <i>a</i><sub>3</sub> : <i>b</i><sub>3</sub>?
Существует ли такое значение <i>x</i>, что выполняется равенство arcsin<sup>2</sup><i>x</i> + arccos<sup>2</sup><i>x</i> = 1?
Какое наибольшее количество множителей вида <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65208/problem_65208_img_2.gif"> можно вычеркнуть в левой части уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65208/problem_65208_img_3.gif"> так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
Найдите все значения <i>a</i>, для которых найдутся такие <i>x, y</i> и <i>z</i>, что числа cos <i>x</i>, cos <i>y</i> и cos <i>z</i> попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа cos(<i>x + a</i>), cos(<i>y + a</i>) и cos(<i>z + a</i>) также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.