Решение 1:Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и выделим полный квадрат: $$a-2\sqrt{a}\sqrt{bc}+b+c=(\sqrt{a}-\sqrt{bc})^2+b+c-bc.$$ Следовательно, $bc=b+c+(\sqrt{a}-\sqrt{bc})^2\geqslant b+c.$

Решение 2:По неравенству о средних $a+bc \geqslant 2\sqrt{abc} =a +b +c$, откуда $bc\geqslant b+c$.

Решение 3:Если $a=0$, то $b=c=0$, и неравенство выполнено. Пусть $a>0$. В силу неравенства о средних имеем $a+b+c\geqslant 2\sqrt{a(b+c)}$. Тогда по условию $2\sqrt{abc}\geqslant 2\sqrt{a(b+c)}$, откуда, разделив на $2\sqrt{a}$ и возведя в квадрат, получаем требуемое неравенство.

Решение 4:Числа $a$, $b$ и $c$ неотрицательны, поэтому исходное равенство можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $\sqrt{a}$: $(\sqrt{a})^2-2\sqrt{bc}\sqrt{a}+b+c=0$. По условию это уравнение имеет хотя бы одно решение, а значит, $D/4=bc-b-c\geqslant0$.

Ответ задачи отсутствует