Задача
Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству $$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$
Решение
Пусть такая функция существует. Тогда, подставляя $\pi - x$ вместо $x$ в данное равенство, получаем $$2f(-\cos x)=f(\sin x)+\sin x.$$ Значит, $f(-\cos x)=f(\cos x)$ при всех $x$, поэтому $f(-t) = f(t)$ при всех $t\in[-1;1]$, то есть функция $f$ четная.
С другой стороны, подставляя в исходное равенство $-x$ вместо $x$, получим $$2f(\cos x)=f(-\sin x)-\sin x,$$ а поскольку $f$ четная, то $f(-\sin x) = f(\sin x)$, поэтому $$2f(\cos x)=f(\sin x)-\sin x.$$ Вычитая это равенство из исходного, получаем $\sin x=0$ при всех $x$. Противоречие.
Ответ
Нет, не существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь