Олимпиадные задачи по математике для 2-9 класса

Биссектрисы треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>,  ∠<i>ABC</i> = 120°.  На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> отмечены соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>AP = CQ = AC</i>.  Докажите, что угол <i>PIQ</i> – прямой.

Окружность касается боковых сторон трапеции $ABCD$ в точках $B$ и $C$, а её центр лежит на $AD$. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.

Митя купил на день рождения круглый торт диаметром 36 сантиметров и 13 тоненьких свечек. Мите не нравится, когда свечки стоят слишком близко, поэтому он хочет поставить их на расстоянии не меньше 10 сантиметров друг от друга. Поместятся ли все свечки на торте?

На графике функции $y=1/x$ Миша отмечал подряд все точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., пока не устал. Потом пришла Маша и закрасила все прямоугольники, одна из вершин которых — это отмеченная точка, еще одна — начало координат, а еще две лежат на осях (на рисунке показано, какой прямоугольник Маша закрасила бы для отмеченной точки $P$). Затем учительница попросила ребят посчитать площадь фигуры, состоящей из всех точек, закрашенных ровно один раз. Сколько получилось?

<img width="200" src="/storage/problem-media/66551/problem_66551_img_2.png">

Том написал на заборе из досок слово ММО, а Гек — число 2020. Ширина каждой буквы и цифры 9 см, а ширина доски забора — 5 см. Мог ли Гек испачкать меньше досок, чем Том? (Доски расположены вертикально, а слова и числа пишутся горизонтально. Цифры и буквы пишутся через равные промежутки.)

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> провели биссектрисы <i>AK</i> и <i>BN</i>, на которые опустили перпендикуляры <i>CD</i> и <i>CE</i> из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка <i>DE</i> равна радиусу вписанной окружности.

Четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = BC</i>  и  <i>AD = CD</i>,  вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на меньшей дуге <i>CD</i> этой окружности. Прямые <i>BM</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>AM</i> и <i>BD</i> – в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>PQ || AC</i>.

В выпуклой <i>n</i>-угольной призме равны все боковые грани. При каких <i>n</i> эта призма обязательно прямая?

Пусть <i>C</i> – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке <i>B</i>, а касательная в <i>C</i> к β пересекает α в точке <i>A</i>, причём <i>A</i> и <i>B</i> отличны от <i>C</i>, и угол <i>ACB</i> тупой. Прямая <i>AB</i> вторично пересекает α и β в точках <i>N</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что  2<i>MN < AB</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяты соответственно точки <i>C</i>₁ и <i>A</i>₁ так, что  <i>AC = A</i>₁<i>C = AC</i>₁.

Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABA</i>₁ и <i>CBC</i>₁ пересекаются на биссектрисе угла <i>B</i>.