Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
На окружности отмечено 2<i>n</i> + 1 точек, делящих её на равные дуги (<i>n</i> ≥ 2). Двое по очереди стирают по одной точке. Если после хода игрока все треугольники с вершинами в ещё отмеченных точках – тупоугольные, он выигрывает, и игра заканчивается. Кто выиграет при правильной игре: начинающий игру или его противник?
Дана неравнобокая трапеция <i>ABCD</i> (<i>AB || CD</i>). Окружность, проходящая через точки <i>A</i> и <i>B</i>, пересекает боковые стороны трапеции в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а диагонали – в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что прямые <i>PQ, MN</i> и <i>CD</i> пересекаются в одной точке.
В остроугольном треугольнике $ABC$ отмечены точки $I$ и $O$ — центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Прямые $AI$ и $CI$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $N$ и $M$. Отрезки $MN$ и $BO$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что прямые $XI$ и $AC$ перпендикулярны.<img height="250" src="/storage/problem-media/67486/problem_67486_img_2.png">
На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $\angle BED = 3\angle BDE$. Точка $D'$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$. Докажите, что прямая $D'E$ проходит через точку пересечения биссектрис треугольника $ABC$.
Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырехугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. На прямой $AI$ выбрана произвольная точка $P$. Прямая $PK$ пересекает прямую $BI$ в точке $Q$. Прямая $QL$ пересекает прямую $CI$ в точке $R$. Прямая $RM$ пересекает прямую $DI$ в точке $S$. Докажите, что точки $P$, $N$ и $S$ лежат на одной прямой.
На плоскости проведены три прямые, образующие остроугольный неравнобедренный треугольник. Федя, у которого есть циркуль и линейка, хочет провести все высоты этого треугольника. Ваня с ластиком пытается ему помешать. За ход Федя проводит либо прямую через две отмеченные точки, либо окружность с центром в отмеченной точке, проходящую через другую отмеченную точку. После этого Федя отмечает любое количество точек (точки пересечения проведенных линий, случайные точки на проведенных линиях и случайные точки плоскости). Ваня за ход стирает не более трех отмеченных точек. (Федя не может использовать стертые точки в своих построениях, пока не отметит их снова). Ходят по очереди, начинает Федя. Изначально никакие точки плоскости не отмечены. Может ли Федя провести высоты?
Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.
В отель ночью приехали $100$ туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера $1$, $2, \ldots, n$, из которых $k$ на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы могут заранее договориться о своих действиях, после чего по очереди уходят заселяться: каждый проверяет номера в любом порядке, находит первый свободный номер не на ремонте и остаётся там ночевать. Но туристы не хотят беспокоить друг друга: нельзя проверять номер, куда уже кто-то заселился. Для каждого $k$ укажите наименьшее $n$, при котором туристы гарантированно смогут заселиться, не потревожив друг друга.
Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^n - a x^{n-1} + bx^{n-2} + \ldots $ имеет $n$ натуральных корней, то на плоскости найдутся $a$ прямых, у которых ровно $b$ точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?
Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ – середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$, $K$ – основание высоты, проведенной из вершины $A$, а $L$ – точка касания вписанной окружности $\gamma$ со стороной $BC$. Описанные окружности треугольников $LKB_1$ и $A_1LC_1$ вторично пересекают прямую $B_1C_1$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Окружность $\gamma$ пересекает эту прямую в точках $Z$ и $T$. Докажите, что $XZ = YT$.
Трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ вписана в окружность с центром $O$. Из точки $A$ к описанной окружности треугольника $CDO$ проведены касательные $AP$ и $AQ$. Докажите, что описанная окружность треугольника $APQ$ проходит через середину основания $AB$.
На плоскости даны точки $A$, $B$, $C$ и $D$ общего положения и проходящая через $B$ и $C$ окружность $\omega$. Точка $P$ движется по $\omega$. Обозначим через $Q$ точку пересечения описанных окружностей треугольников $ABP$ и $PCD$, отличную от $P$. Найдите геометрическое место точек $Q$.
Дан описанный четырёхугольник $ABCD$. Докажите, что точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности треугольника $ABC$ и центр вневписанной окружности треугольника $CDA$, касающейся стороны $AC$ лежат на одной прямой.
Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$, а $A_1$ и $B_1$ – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ – середина отрезка $IC$, а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что точки $N$, $B_1$, $A$ и $M$ лежат на одной окружности.
Пусть <i>AL</i> и <i>AK</i> – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника <i>ABC, P</i> – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L</i> к <i>BC</i>, пересекает прямую <i>AP</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>Q</i> лежит на средней линии треугольника <i>LKP</i>.
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны <i>a, b, c</i> и <i>d</i>. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
На основании <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> взяли произвольную точку <i>X</i>, а на боковых сторонах – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что <i>XPBQ</i> – параллелограмм. Докажите, что точка <i>Y</i>, симметричная точке <i>X</i> относительно <i>PQ</i>, лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AB, O</i> – центр описанной окружности ω треугольника <i>CMB</i>. Прямая <i>AC</i> вторично пересекает окружность ω в точке <i>K</i>. Прямая <i>KO</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>AL</i> и <i>KM</i> пересекаются на описанной окружности треугольника <i>ACM</i>.
Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>. На отрезках <i>AM</i> и <i>CM</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно таким образом, что <i>PQ = <sup>AC</sup></i>/<sub>2</sub>. Описанная окружность треугольника <i>ABQ</i> второй раз пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>X</i>, а описанная окружность треугольника <i>BCP</i>, второй раз пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Y</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>BXMY</i> – вписанный.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AP</i> и <i>BQ</i>, а также медиана <i>CM</i>. Точка <i>R</i> – середина <i>CM</i>. Прямая <i>PQ</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>T</i>. Докажите, что <i>OR</i>⊥<i>TC</i>, где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Дан правильный 4<i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>4<i>n</i></sub> площади <i>S</i>, причём <i>n</i> > 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A<sub>n</sub>A</i><sub><i>n </i>+1</sub><i>A</i><sub><i>n</i>+2</sub>.