Решение 1:   Пусть H – ортоцентр треугольника, O₁ – середина CH (см. рис.).

  OM || CH  и, как известно,  OM = ½ CH = O₁C  (см. например, решение задачи 155595). Значит, MOCO₁ – параллелограмм, а R – точка пересечения его диагоналей, то есть – середина отрезка OO₁.

  Рассмотрим описанные окружности Ω и Ω₁треугольниковABCиPQC, а также окружность Ω₂с диаметромAB. Заметим, чтоAB– радикальная ось Ω и Ω₁, аPQ– радикальная ось Ω₁и Ω₂. Эти радикальные оси пересекаются в точкеT– радикальном центре этих трёх окружностей. СледовательноCT– радикальная ось Ω и Ω₁и перпендикулярна их линии центровOO₁, что и требовалось.

Решение 2:   Проведём высоту CL (рис. слева). Заметим, что R – центр описанной окружности прямоугольного треугольника CLM. Докажем, что TC – радикальная ось описанных окружностей треугольников ABC и CLM. Тогда она перпендикулярна линии центров этих окружностей, то есть прямой OR, что и требуется.

  ТочкаCлежит на радикальной оси этих окружностей, как одна из точек пересечения. Осталось доказать, что степени точкиTотносительно этих окружностей равны.   Для этого рассмотримокружность ЭйлератреугольникаABC(она содержит точкиP, Q, LиM, см. задачу152511) и окружность, описанную вокруг четырёхугольникаAQPB(рис. справа). Имеем  TL·TM = TP·TQ = TB·TA.

Ответ задачи отсутствует