Олимпиадные задачи по математике для 4-11 класса - сложность 3 с решениями
На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём <i> расстоянием</i> между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем <i>n</i> можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на <i>n</i>, увеличилось?
На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали <i>k</i> точек и построили выпуклый <i>k</i>-угольник с вершинами
в выбранных точках. При каком наибольшем <i>k</i> могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон?
<img align="right" src="/storage/problem-media/115364/problem_115364_img_2.gif"> Назовём лестницей высоты <i>n</i> фигуру, состоящую из всех клеток квадрата <i>n</i>×<i>n</i>, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты <i>n</i> на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?
На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
Пусть многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>0</sub> имеет хотя бы один действительный корень и <i>a</i><sub>0</sub> ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи <i>P</i>(<i>x</i>), можно получить из него число <i>a</i><sub>0</sub> так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
Докажите, что из любых шести четырёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.
Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.
В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера 10×10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более чем пяти различных цветов?
Набор чисел<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>удовлетворяет условиям: <i>a</i><sub>0</sub>= 0, 0 ≤<i>a</i><sub><i>k</i>+1</sub>–<i>a<sub>k</sub></i>≤ 1 при <i>k</i>= 0, 1, ...,<i>n</i>– 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110096/problem_110096_img_2.gif">
Набор чисел <i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> удовлетворяет условиям: <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub><i>k</i>+1</sub> ≥ <i>a</i><sub><i>k</i></sub> + 1 при <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> – 1. Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110087/problem_110087_img_2.gif">
Уголком размера<i> n</i>×<i>m </i>, где<i> m,n<img src="/storage/problem-media/110080/problem_110080_img_2.gif"></i>2, называется фигура, получаемая из прямоугольника размера<i>n</i>×<i>m</i>клеток удалением прямоугольника размера (<i>n-</i>1)×(<i>m-</i>1) клеток. Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат. Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при правильной игре?
Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.
Два пирата делят добычу, состоящую из двух мешков монет и алмаза, действуя по следующим правилам. Вначале первый пират забирает себе из любого мешка несколько монет и перекладывает из этого мешка в другой такое же количество монет. Затем также поступает второй пират (выбирая мешок, из которого он берет монеты, по своему усмотрению) и т.д. до тех пор, пока можно брать монеты по этим правилам. Пирату, взявшему монеты последним, достается алмаз. Кому достанется алмаз, если каждый из пиратов старается получить его? Дайте ответ в зависимости от первоначального количества монет в мешках.
В коробке лежит полный набор костей домино. Два игрока по очереди выбирают из коробки по одной кости и выкладывают их на стол, прикладывая к уже выложенной цепочке с любой из двух сторон по правилам домино. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?
Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?
Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109894/problem_109894_img_2.gif">, если известно, что это число целое.
Пусть<i> I </i>– точка пересечения биссектрис треугольника<i> ABC </i>. Обозначим через<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>точки, симметричные точке<i> I </i>относительно сторон треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что если окружность, описанная около треугольника<i> A'B'C' </i>, проходит через вершину<i> B </i>, то<i> <img src="/storage/problem-media/108124/problem_108124_img_2.gif"> ABC = </i>60<i><sup>o</sup> </i>.
На клетчатый лист бумаги размера 100×100 положили несколько попарно неперекрывающихся картонных равнобедренных прямоугольных треугольничков с катетом 1; каждый треугольничек занимает ровно половину одной из клеток. Оказалось, что каждый единичный отрезок сетки (включая граничные) накрыт ровно одним катетом треугольничка. Найдите наибольшее возможное число клеток, не содержащих ни одного треугольничка.
Дано натуральное число <i>n</i> ≥ 2. Рассмотрим все такие покраски клеток доски <i>n</i>×<i>n</i> в <i>k</i> цветов, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет и все <i>k</i> цветов встречаются. При каком наименьшем <i>k</i> в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?
На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?
При каком наибольшем <i>n</i> можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i> нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна <i>k</i>, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна <i>k</i>?
Все клетки квадратной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до <i>n</i>². Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит фишку в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером <i>a</i> ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем <i>a</i>. Каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество фишек потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?