Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 3 с решениями
Даны положительные числа <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>. Докажите неравенство <img align="middle" src="/storage/problem-media/116543/problem_116543_img_2.gif">
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число <i>x</i>, то можно дописать на нее число 2<i>x</i> + 1 или <sup><i>x</i></sup>/<sub><i>x</i>+2</sub>. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
Известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110215/problem_110215_img_2.gif"> и <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + ... + <i>x</i><sub>6</sub> = 0. Докажите, что <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>...<i>x</i><sub>6</sub> ≤ ½.
Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?
Даны целые числа <i>a, b</i> и <i>c, c ≠ b</i>. Известно, что квадратные трёхчлены <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> и (<i>c – b</i>)<i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a + b</i>) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что <i>a + b</i> + 2<i>c</i> делится на 3.
Для неотрицательных чисел <i>x</i> и <i>y</i>, не превосходящих 1, докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110027/problem_110027_img_2.gif">
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> справедливо неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109704/problem_109704_img_2.gif">
Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения <i>a</i>³, <i>b</i>³ и <i>c</i>³?
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i>³</sub> ≤ <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³<i>b</i><sup>3</sup><i>c</i>³<i>d</i>³</sub>.
Какое из чисел больше: (100!)! или 99!<sup>100!</sup>·100!<sup>99!</sup>?