Олимпиадная задача по арифметической прогрессии: степени 10, многочлены, делимость
Задача
Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.
Решение
Докажем, что для всех натуральных n число 1081n – 1 делится на 729. Действительно, 1081n – 1 = (1081)n – 1 делится на 1081 – 1, а
1081 – 1 = (109 – 1)(1072 + 1063 + ... + 1) = (10 – 1)(108 + 107 + ... + 1)(1072 + 1063 + ... + 1).
Второй сомножитель и третий сомножитель – числа, в записи каждого из которых содержится по 9 единиц, поэтому они делятся на 9. Следовательно, 1081 – 1 делится на 93 = 729.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет