Пусть O₁, O₂, O₃ – центры окружностей Ω₁, Ω₂, Ω₃ соответственно; A – точка пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₃, B – к окружностям Ω₁ и Ω₂. Поскольку точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям является их центром гомотетии, то четвёртая окружность должна быть гомотетичной окружности Ω₂ с центром гомотетии A и окружности Ω₃ с центром гомотетии B. Поэтому её центр O должен лежать на пересечении отрезков AO₂ и BO₃.

  Осталось найти такое число r, что окружность Ω с центром O и радиусом r гомотетична Ω₂ с центром гомотетии A (то есть  r : r₂ = AO : AO₂)  и одновременно гомотетична Ω₃ с центром гомотетии B (то есть  r : r₃ = AO : AO₃).  Для этого сначала найдём  AO : AO₂.   Первый способ. Через точку A проведём прямую, параллельную O₁B, до пересечения с прямой BO₃ в точке T. Из подобия треугольников AO₃T и O₁O₃B следует, что   

а из подобия треугольников AOT и O₂OB – что       Второй способ. Поместим в точки O₁, B и A массы r₂r₃,  r₃(r₁ – r₂)  и  r₂(r₁ – r₃)  соответственно. Тогда O₂ – центр масс точек O₁ и B, O₃ – центр масс точек O₁ и A, следовательно, O₁ – центр масс всех трёх точек. Значит,     Отсюда     Ту же самую величину мы получим и при нахождении r из соотношения  r : r₃ = BO : BO₃  (r₂ и r₃ просто поменяются местами).