Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-5 с решениями
Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки <i>B</i> и <i>C</i>, пересекают касательную к ω, проведённую через точку <i>A</i>, в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Прямая, проведённая через <i>K</i> параллельно <i>AB</i>, пересекается с прямой, проведённой через <i>L</i> параллельно <i>AC</i>, в точке <i>P</i>. Докажите, что <i>BP = CP</i>.
На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади <i>S</i>. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отражённых точках также имеет площадь <i>S</i>.
Bсе ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности (бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса <i>R</i>. Найдите все возможные значения <i>R</i>.
Квадратная доска разделена на <i>n</i>² прямоугольных клеток <i>n</i> – 1 горизонтальными и <i>n</i> – 1 вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все <i>n</i> клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.
Диагонали выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> перпендикулярны и пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники <i>AOB</i> и <i>COD</i>, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники <i>BOC</i> и <i>DOA</i>. Докажите, что
а) четырёхугольник <i>ABCD</i> – описанный;
б) четырёхугольник <i>ABCD</i> симметричен относительно одной из своих диагоналей.
Пете и Васе подарили одинаковые наборы из <i>N</i> гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение <i>N</i>.
По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.
Дана окружность и точка<i> P </i>внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке<i> P </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.
Окружности σ<sub><i>B</i></sub>, σ<sub><i>C</i></sub> – вневписанные для треугольника <i>ABC</i> (касаются соответственно сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> и продолжений двух других сторон). Окружность ω<sub><i>B</i></sub> симметрична σ<sub><i>B</i></sub> относительно середины стороны <i>AC</i>, окружность ω<sub><i>C</i></sub> симметрична σ<sub><i>C</i></sub> относительно середины стороны <i>AB</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω<sub><i>B</i></sub> и ω<sub><i>C</i></sub>, делит периметр треугольника <i>...
Четырёхугольник <i> ABCD </i> описан около окружности ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Окружность ω<sub>1</sub> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>; окружность ω<sub>2</sub> касается стороны <i>AD</i> в точке <i>L</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что точки <i>O, K</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон <i>BC, AD</i> и центр окружности ω лежат на одной прямой.
Дан треугольник <i>ABC</i>. В нём <i>H</i> – точка пересечения высот, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>K</i> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Известно, что отрезки <i>IO || BC</i>. Докажите, что отрезки <i>AO || HK</i>.
Можно ли поверхность куба оклеить без пропусков и наложений тремя треугольниками?
На плоскости даны три красные точки, три синие точки и ещё точка <i>O</i>, лежащая как внутри треугольника с красными вершинами, так и внутри треугольника с синими вершинами, причём расстояние от <i>O</i> до любой красной точки меньше расстояния от <i>O</i> до любой синей точки. Могут ли все красные и все синие точки лежать на одной и той же окружности?
<i>n</i> бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри области, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98412/problem_98412_img_2.gif"></div>
По кругу стоит 99 тарелок, на них лежат булочки (на тарелке может быть любое число булочек или вовсе их не быть). Известно, что на любых 20 подряд идущих тарелках лежит суммарно хотя бы $k$ булочек. При этом ни одну булочку ни с одной тарелки нельзя убрать так, чтобы это условие не нарушилось. Какое наибольшее суммарное число булочек может лежать на тарелках?
Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём<i>удачным</i>, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.
На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)
Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.<img height="250" src="/storage/problem-media/67495/problem_67495_img_2.png">
Можно ли на плоскости из каждой точки с рациональными координатами выпустить луч так, чтобы никакие два луча не имели общей точки и при этом среди прямых, содержащих эти лучи, никакие две не были бы параллельны?
Взяли все 100-значные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая цифра – какая-то из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько из этих чисел делятся на $2^{100}$?
Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$ и $BH_B$. Прямая $H_AH_B$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $BC$, точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно $CA$. Докажите, что $A', B'$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.
В окружности $\Omega $ хорды $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$ пересекаются в точке $O$. Пусть $B_i$ – вторая точка пересечения окружности $\Omega$ с окружностью, построенной на отрезке $OA_i$ как на диаметре. Докажите, что хорды $B_1B_2$, $B_3B_4$, $B_5B_6$ пересекаются в одной точке.
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$. Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.