Олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...
Рассматриваются такие квадратичные функции <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, что <i>a < b</i> и <i>f</i>(<i>x</i>) ≥ 0 для всех <i>x</i>.
Какое наименьшее значение может принимать выражение <sup><i>a+b+c</i></sup>/<sub><i>b–a</i></sub> ?
В ряд стоят 23 коробочки с шариками, причём для каждого числа <i>n</i> от 1 до 23 есть коробочка, в которой ровно <i>n</i> шариков. За одну операцию можно переложить в любую коробочку еще столько же шариков, сколько в ней уже есть, из какой-нибудь другой коробочки, в которой шариков больше. Всегда ли можно такими операциями добиться, чтобы в первой коробочке оказался 1 шарик, во второй – 2 шарика, ..., в 23-й – 23 шарика?
<i>Высотой</i> пятиугольника назовём отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, а <i>медианой</i> – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что в некотором пятиугольнике равны десять длин – длины всех высот и всех медиан. Докажите, что этот пятиугольник – правильный.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>X</i> лежит на стороне <i>AB</i>, а точка <i>Y</i> – на стороне <i>BC</i>. Отрезки <i>AY</i> и <i>CX</i> пересекаются в точке <i>Z</i>. Известно, что <i>AY = CY</i> и
<i>AB = CZ</i>. Докажите, что точки <i>B, X, Z</i> и <i>Y</i> лежат на одной окружности.
Длины сторон треугольника <i>ABC</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> (<i>AB = c, BC = a, CA = b</i> и <i>a < b < c</i>). На лучах <i>BC</i> и <i>AC</i> отмечены соответственно такие точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub>, что <i>BB</i><sub>1</sub> = <i>AA</i><sub>1</sub> = <i>c</i>. На лучах <i>CA</i> и <i>BA</i> отмечены соответственно такие точки <i>C</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, что <i>CC</i><sub>2</sub> = <i>BB</i><sub>2</sub> = <i>a</i&...
У первоклассника имеется сто карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100, а также большой запас знаков "+" и "=". Какое наибольшее число верных равенств он может составить? (Каждая карточка используется не более одного раза, в каждом равенстве может быть только один знак "=", переворачивать карточки и прикладывать их для получения новых чисел нельзя.)
В пространстве проведено <i>n</i> плоскостей. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.
Каждая сторона правильного треугольника разбита на 10 равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на 100 маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску. Какое максимальное число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений?
На каждой клетке доски 5×5 лежит по одной монете, все монеты внешне одинаковы. Среди них ровно 2 монеты фальшивые, они одинакового веса и легче настоящих, которые тоже весят одинаково. Фальшивые монеты лежат в клетках, имеющих ровно одну общую вершину. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах без гирь гарантированно найти а) 13 настоящих монет; б) 15 настоящих монет; в) 17 настоящих монет?
Доска 7×7 либо пустая, либо на ней лежит "по клеткам" невидимый корабль 2×2. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?
У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие – весят одинаково – и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжёлая, а какая более лёгкая?
В ряд лежат 100 внешне одинаковых монет. Среди них ровно 26 фальшивых, причём они лежат подряд. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – не обязательно одинаково, но они легче настоящих. Как за одно взвешивание на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну фальшивую монету?
Прямая касается окружности в точке <i>A</i>. На прямой выбрали точку <i>B</i> и повернули отрезок <i>AB</i> на некоторый угол вокруг центра окружности, получив отрезок <i>A'B'</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания <i>A</i> и <i>A'</i>, делит пополам отрезок <i>BB'</i>.
Многочлен <i>x</i>³ + <i>px</i>² + <i>qx + r</i> имеет на интервале (0, 2) три корня. Докажите, что – 2 < <i>p + q + r</i> < 0.
Клетки доски 9×9 раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета (угловые клетки белые). Какое наименьшее число ладей нужно поставить на эту доску, чтобы все белые клетки оказались под боем этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.)
У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при a) <i>n</i> = 3; б) <i>n</i> = 1000.
Есть клетчатая доска 2015×2015. Дима ставит в <i>k</i> клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500×1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем <i>k</i> Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?
Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?
Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?
В некотором городе каждая улица идет либо с севера на юг, либо с востока на запад. Автомобилист совершил прогулку по этому городу, сделав ровно сто поворотов налево. Сколько поворотов направо он мог сделать при этом, если никакое место он не проезжал дважды и в конце вернулся назад?
Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы каждый бил не более семи из остальных?
В ящике лежат 100 шариков: белые, синие и красные. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одного цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одного цвета?