Олимпиадные задачи по математике для 6-9 класса

По кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася – модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя – модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что каждое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что каждое Толино число не меньше любого Васиного.

В числе не меньше 10 разрядов, в его записи используются только две разные цифры, причём одинаковые цифры не стоят рядом.

На какую наибольшую степень двойки может делиться такое число?

По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.

Рациональные числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все числа  <i>x + y</i>² + <i>z</i>²,  <i>x</i>² + <i>y</i> + <i>z</i>²  и  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>  целые. Докажите, что число 2<i>x</i> целое.

Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите, что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен <i>g</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>x</i>)  имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?

Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.

Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?

Выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> таков, что  <i>AB</i>·<i>CD</i> = <i>AD</i>·<i>BC</i>.  Докажите, что –∠<i>BAC</i> + ∠<i>CBD</i> + ∠<i>DCA</i> + ∠<i>ADB</i> = 180°.

Даны различные натуральные числа <i>a</i>, <i>b</i>. На координатной плоскости нарисованы графики функций  <i>y</i> = sin <i>ax</i>,  <i>y</i> = sin <i>bx</i>  и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число <i>c</i>, отличное от <i>a</i>, <i>b</i> и такое, что график функции  <i>y</i> = sin <i>cx</i>  проходит через все отмеченные точки.

Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что   <i>a</i>³ – <i>b</i>³ = 2,  <i>a</i>⁵ – <i>b</i>⁵ ≥ 4.   Докажите, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 2.

На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат каждого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом.

Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>AK</i> = <i>BL</i>, а на стороне <i>BC</i> — точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>CN</i> = <i>BM</i>. Докажите, что <i>KN</i> + <i>LM</i> ≥ <i>AC</i>.

Дана функция <i>f</i>(<i>x</i>), значение которой при любом целом <i>x</i> целое. Известно, что для любого простого числа <i>p</i> существует такой многочлен <i>Q_p</i>(<i>x</i>) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что  <i>f</i>(<i>n</i>) – <i>Q_p</i>(<i>n</i>)  делится на <i>p</i> при любом целом <i>n</i>. Верно ли, что существует такой многочлен <i>g</i>(<i>x</i>) с вещественными коэффициентами , что  <i>g</i>(<i>n</i>) = <i>f</i>(<i>n</i>)  для любого целого <i>n</i>?

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.   а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.

  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности, лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лучи <i>BC</i> и <i>AD</i> – в точке <i>F</i>. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AB, CD</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AD, BC</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>KL, AC</i> и <i>EF</i> пересекаются в одной точке.

В некоторых клетках таблицы 10x10 расставлены несколько крести- ков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столб- ца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?

Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).

Окружность с центром <i> I </i>касается сторон <i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> AC </i>неравнобедренного треугольника <i> ABC </i>в точках<i> C₁ </i>,<i> A₁ </i>,<i> B₁ </i>соответственно. Окружности <i> ω_B </i>и <i> ω_C </i>вписаны в четырехугольники <i> BA₁IC₁ </i>и <i> CA₁IB₁ </i>соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к <i> ω_B </i>и <i> ω_C </i>, отличная от ...

По кругу стоят2009целых неотрицательных чисел, не превышающих 100. Разрешается прибавить по1к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более<i> k </i> раз. При каком наименьшем<i> k </i>все числа гарантированно можно сделать равными?

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (<i>x,y</i>)такие, что<i> x²+y²<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115399/problem_115399_img_2.gif"> </i>10<i></i>10. Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть <i>S</i> – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать <i>S</i>?