Олимпиадные задачи из источника «5 (2012 год)» - сложность 3 с решениями

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит <i>n</i> пар носков. Двух одинаковых пар нет. Носки висят за сохнущей простыней, поэтому Рассеянный Учёный достает по одному носку на ощупь и сравнивает каждый новый носок со всеми предыдущими. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых к моменту, когда у Учёного окажется какая-нибудь пара.

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит <i>n</i> носков. Среди них – два любимых носка Рассеянного Учёного. Носки загорожены сохнущей простыней, поэтому Учёный их не видит, и достаёт по одному носку на ощупь. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых Учёным к моменту, когда у него окажутся оба любимых носка.

Вася купил <i>n</i> пар одинаковых носков. В течение <i>n</i> дней Вася не знал проблем: каждое утро брал из шкафа новую пару и носил её целый день. Через <i>n</i> дней Васина мама постирала все носки в стиральной машине и разложила их по парам, как получилось, поскольку, повторим, носки одинаковые. Назовём пару носков <i>удачной</i>, если оба носка в этой паре были на Васе в один и тот же день.

  а) Найти вероятность того, что все получившиеся пары удачные.

  б) Доказать, что матожидание числа удачных пар больше 0,5.

В Анчурии проходит единый государственный экзамен. Вероятность угадать верный ответ на каждый вопрос экзамена равна 0,25. В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на три вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что три вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на шесть вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше – в 2011 или в 2012?

На борту авиалайнера 2<i>n</i> пассажиров, и авиакомпания загрузила для них <i>n</i> порций питания с курицей и <i>n</i> порций с рыбой. Известно, что пассажир с вероятностью 0,5 предпочитает курицу и с вероятностью 0,5 – рыбу. Назовём пассажира недовольным, если ему осталось не то, что он предпочитает.

  а) Найдите наиболее вероятное число недовольных пассажиров.

  б) Найдите математическое ожидание числа недовольных пассажиров.

  в) Найдите дисперсию числа недовольных пассажиров.

В игре "Что? Где? Когда?" разыгрываются 13 конвертов с вопросами от телезрителей. Конверты выбираются по очереди в случайном порядке с помощью волчка. Если знатоки отвечают верно, зарабатывают очко, если неверно – одно очко достается телезрителям. Игра оканчивается, как только одна из команд набрала 6 очков. Предположим, что силы команд Знатоков и Телезрителей равны.

  а) Найдите математическое ожидание числа очков, набранных командой Знатоков за 100 игр.

  б) Найдите вероятность того, что в следующей игре конверт №5 будет разыгран.

Петя и ещё 9 человек играют в такую игру: каждый бросает игральную кость. Игрок получает приз, если он выбросил число очков, которое не удалось выбросить никому больше.

  а) Какова вероятность того, что Петя получит приз?

  б) Какова вероятность того, что хоть кто-то получит приз?

На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие. Рассеянный Учёный нажал очень много кнопок в случайной последовательности. Найдите приблизительно вероятность, с которой результат получившейся цепочки действий – нечётное число? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65336/problem_65336_img_2.png"></div>

Из 27 игральных кубиков сложен куб.

  а) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалось ровно 25 шестёрок.

  б) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалась хотя бы одна единица.

  в) Найдите математическое ожидание числа шестёрок, смотрящих наружу.

  г) Найдите математическое ожидание суммы чисел, которые оказались на поверхности куба.

  д) Найдите математическое ожидание случайной величины: "Число различных цифр, оказавшихся на поверхности куба".

Ваня написал на доске число 1, а затем ещё несколько чисел. Как только Ваня пишет очередное число, Митя вычисляет медиану уже имеющегося набора чисел и записывает его себе в тетрадку. В некоторый момент в Митиной тетради записаны числа:  1; 2; 3; 2,5; 3; 2,5; 2; 2; 2; 2,5.

  а) Какое число записано на доске четвёртым?  б) Какое число записано на доске восьмым?