а) Число недовольных пассажиров может быть любым от 0 до n. В случае  n = 1  всё очевидно: недовольных либо нет, либо один, причём оба случая равновозможны. Далее считаем, что  n > 1.

  Введём случайную величину ξ "Число недовольных".  ξ = 0,  только если ровно n пассажиров предпочитают курицу, а n остальных – рыбу. Будем считать успехом событие "пассажир хочет курицу . Тогда  

  Ровно один пассажир будет недоволен, если число пассажиров, предпочитающих курицу, отличается от n на единицу, то есть число успехов равно

 n ± 1.  Поэтому   P(ξ = 1) = P({n + 1  успех в серии из 2n испытаний}) + P({n – 1  успех в серии из 2n испытаний}) =

  Рассуждая так же, найдём, что  ,  где  k = 1, 2, ..., n.

  В последовательности чисел всего  2n + 1  число (это 2n-я строка треугольника Паскаля). Сначала эти числа возрастают при  m = 0, 1, ..., n, а потом убывают при  m = n, n + 1, ..., 2n.  При этом среднее число больше других, но меньше, чем удвоенное предыдущее:    (равенство наступает только при  n = 1).

  Таким образом, при  n > 1  P(ξ = 0) < P(ξ = 1) > P(ξ = 2) > ... > P(ξ = n).

  Результат проиллюстрирован на диаграмме распределения случайной величины ξ при  n = 5.  Для сравнения бледным цветом на том же рисунке дана диаграмма биномиального распределения   .

  Таким образом, наиболее вероятное число недовольных – один.   б) Найдём математическое ожидание величины  ξ + n:   Заметим, что    Следовательно,  E(ξ +n) =   В скобках стоит сумма первой половины всех чисел (2n–1)-й строки треугольника Паскаля. Сумма всех чисел этой строки равна 2^2n–1, следовательно, сумма в скобках равна 2^2n–2. Таким образом,  E(ξ +n) =+n,  а  Eξ = E(ξ +n) –n=.   Найдём это число приближенно с помощьюформулы Стирлинга :    в)  Eξ² = 0²·P(ξ = 0) + 1²·P(ξ = 1) + ... + n²P(ξ = n) =

    =

  Это выражение в точности равно дисперсии случайной величины η "число успехов в серии из 2n испытаний Бернулли с вероятностью успеха 0,5". Как известно, она равна  2n·0,5·0,5 = ⁿ/₂.

  Следовательно,  Dξ = Eξ² – (Eξ)² =

а) Если  n > 1,  то наиболее вероятен один недовольный; если  n = 1,  то с равными вероятностями либо имеется один недовольный, либо недовольных нет вовсе;

б)  ;   в)   .