Задача
Ваня написал на доске число 1, а затем ещё несколько чисел. Как только Ваня пишет очередное число, Митя вычисляет медиану уже имеющегося набора чисел и записывает его себе в тетрадку. В некоторый момент в Митиной тетради записаны числа: 1; 2; 3; 2,5; 3; 2,5; 2; 2; 2; 2,5.
а) Какое число записано на доске четвёртым? б) Какое число записано на доске восьмым?
Решение
а) Первое число, очевидно, единица. Тогда, чтобы медиана двух первых чисел была равна 2, второе число должно быть равно 3.
Для наглядности будем писать Ванины числа. Ваня написал третье число a: 1 3 a3. Медиана теперь равна 3, а это может быть, только если a ≥ 3. Добавим очередное число: 1 3 a ≥ 3 b. Медиана полученного набора по условию равна 2,5. Это может быть только при b= 2. б) Припишем пятое число и получим ряд 1 2 3 a ≥ 3 c. Медиана равна 3, значит, c ≥ 3.
Добавим шестое число: 1 2 3 a ≥ 3 c ≥ 3 d. Медиана снова уменьшилась до 2,5. Следовательно, d ≤ 2.
Добавляем седьмое число e: 1 d ≤ 2 2 3 a ≥ 3 c ≥ 3 e. Теперь медиана 2. Видно, что e ≤ 2, иначе чисел, которые не больше двух, станет 3, то есть меньше половины общего количества чисел. Добавим восьмое число: 1 d ≤ 2 e ≤ 2 2 3 a ≥ 3 c ≥ 3 f
Медиана снова 2. Значит, f ≤ 2. При этом, если одно из чисел d, e равно 2, то f – любое число, не большее 2. Если же и d, и e меньше 2, то f = 2.
В любом случае получается ряд вида 1 x ≤ 2 y ≤ 2 2 3 a ≤ 3 c ≤ 3. Он не противоречит условиям задачи: если Ваня напишет ещё две тройки, то девятая медиана будет 2, а десятая – 2,5.
Ответ
а) 2; б) если шестое или седьмое число равно 2, то восьмое число – не больше 2; если и шестое и седьмое число меньше 2, то восьмое число равно 2. Другие варианты невозможны.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь