Олимпиадные задачи из источника «1 (2008 год)» для 10 класса

  По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 "В" пошли в тир. Известно, что в 8 "В" <i>n</i> мальчиков. В тире, куда пришли ребята, <i>n</i> мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается поражённой, если в нее попал хоть один мальчик.

  а) Найти среднее количество поражённых мишеней.

  б) Может ли среднее количество поражённых мишеней быть меньше ^<i>n</i>/₂?

На рисунке изображена схема трассы для картинга. Старт и финиш в точке <i>A</i>, причём картингист по дороге может сколько угодно раз заезжать в точку <i>A</i> и возвращаться на круг. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65275/problem_65275_img_2.gif"> </div>На путь от <i>A</i> до <i>B</i> или обратно юный гонщик Юра тратит минуту. На путь по кольцу Юра также тратит минуту. По кольцу можно ездить только против часовой стрелки (стрелки показывают возможные направление движения). Юра не поворачивает назад на полпути и не останавливается. Длительность заезда 10 минут. Найдите число возможных различных маршрутов (последовательностей прохождения участков).

На рулетке может выпасть любое число от 0 до 2007 с одинаковой вероятностью. Рулетку крутят раз за разом. Обозначим через <i>P_k</i> вероятность того, что в какой-то момент сумма чисел, выпавших при всех сделанных бросках, равна <i>k</i>. Какое число больше: <i>P</i>₂₀₀₇ или <i>P</i>₂₀₀₈?

Игральную кость бросают раз за разом. Обозначим через <i>P_n</i> вероятность того, что в какой-то момент сумма очков, выпавших при всех сделанных бросках, равна <i>n</i>. Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 7  верно равенство  <i>P_n</i> = &frac16; (<i>P</i>_<i>n</i>–1 + <i>P</i>_<i>n</i>–2 + ... + <i>P</i>_<i>n</i>–6).

Три усталых ковбоя зашли в салун, и повесили свои шляпы на бизоний рог при входе. Когда глубокой ночью ковбои уходили, они были не в состоянии отличить одну шляпу от другой и поэтому разобрали три шляпы наугад. Найдите вероятность того, что никто из них не взял свою собственную шляпу.

Аня, Боря и Вася решили пойти на "Ёлку". Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придёт. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с 15.00 до 16.00. Вася самый терпеливый из всех: если он придёт и на остановке не будет ни Ани, ни Бори, то он будет ждать кого-нибудь из них 15 минут, и если никого не дождётся, пойдёт на "Ёлку" один. Боря менее терпеливый: он будет ждать лишь 10 минут. Аня самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Боря и Вася встретятся, то они будут ждать Аню до 16.00. Какова вероятность того, что на "Ёлку" они пойдут все вместе?

В классе меньше 30 человек. Вероятность того, что наугад выбранная девочка отличница, равна ³/₁₃, а вероятность того, что наугад выбранный мальчик – отличник, равна ⁴/₁₁. Сколько в классе отличников?

В первой четверти у Васи было пять оценок по математике, больше всего среди них пятёрок. При этом оказалось, что медиана всех оценок равна 4, а среднее арифметическое 3,8. Какие оценки могли быть у Васи?

В классе 25 детей. Для дежурства наугад выбирают двоих. Вероятность того, что оба дежурных окажутся мальчиками, равна ³/₂₅.

Сколько в классе девочек?

Имеются два симметричных кубика. Можно ли так написать на их гранях некоторые числа, чтобы сумма очков при бросании принимала значения 1, 2, ..., 36 с равными вероятностями?

На каждой из четырёх карточек написано натуральное число. Берут наугад две карточки и складывают числа на них. С равной вероятностью эта сумма может быть меньше 9, равна 9 и больше 9. Какие числа могут быть записаны на карточках?

Петя предлагает Васе сыграть в следующую игру. Петя дает Васе две коробки с конфетами. В каждой из двух коробок шоколадные конфеты и карамельки. Всего в обеих коробках 25 конфет. Петя предлагает Васе взять из каждой коробки по конфете. Если обе конфеты окажутся шоколадными, то Вася выиграл. В противном случае выиграл Петя. Вероятность того, что Васе достанутся две карамельки, равна 0,54. У кого больше шансов на победу?

Петя играет в компьютерную игру “Куча камней”. Сначала в куче 16 камней. Игроки по очереди берут из кучи 1, 2, 3 или 4 камня. Выигрывает тот, кто заберёт последний камень. Петя играет впервые и поэтому каждый раз берёт случайное число камней, при этом он не нарушает правила игры. Компьютер играет по следующему алгоритму: на каждом ходу он берёт столько камней, чтобы оказаться в наиболее выгодном положении. Игру начинает всегда Петя. С какой вероятностью Петя выиграет?

Можно ли:

  а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения "орла" и "решки" были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций "решка, решка", "орел, решка", "орел, орел" были бы одинаковы?

  б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?

Итоговый балл в фигурном катании выставляется следующим образом. Бригада судей состоит из десяти человек. Каждый из судей ставит спортсмену свою оценку за выступление. После этого из десяти полученных оценок случайным образом выбираются семь. Сумма этих семи оценок и есть итоговый балл. Места между спортсменами распределяются в соответствии с набранным итоговым баллом: чем выше балл, тем лучше результат. В чемпионате участвовало 6 спортсменов. Могло ли оказаться так, что:

  а) спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок максимальна, занял последнее место?

  б) спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок максимальна, занял последнее место, а спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок минимальна, занял первое место?

Город считается миллионером, если в нем живет более миллиона человек. Вероятность какого события больше:

  <i>A</i> = {наугад выбранный городской житель живет в городе миллионере} или

  <i>B</i> = {наугад выбранный город – город-миллионер}?Возьмите статистику численности городского населения России с сайта http://www.perepis2002.ru/ct/doc/1_TOM_01_05.xls. Проверьте, справедлив ли для России ваш вывод, сделанный ранее. Для этого подсчитайте вероятность того, что наугад выбранный городской житель живёт в городе-миллионере, и вероятность того, наугад выбранный город – миллионер, и сравните их.

Иван Семёнов выполняет тест ЕГЭ по математике. Экзамен состоит из заданий трёх типов: <i>A, B</i> и <i>C</i>. К каждому из заданий типа <i>А</i> даны на выбор четыре варианта ответа, только один из которых верный. Всего таких заданий 10. Задания типа <i>B</i> и <i>C</i> требуют развёрнутого ответа. Так как Ваня постоянно прогуливал, его познания в математике неглубоки. Задания типа <i>А</i> он выполняет, выбирая ответы наугад. Первое из заданий типа В Ваня решает с вероятностью &frac13;. Больше ничего Иван сделать не может. За правильный ответ на одно задание типа <i>A</i> ставится 1 балл, за задание типа <i>B</i> – 2 балла. С какой вероятностью Ваня наберёт больше 5 баллов?Возьмите задания...

В школьном футбольном турнире участвуют 8 команд, одинаково хорошо играющих в футбол. Каждая игра заканчивается победой одной из команд. Случайно выбираемый по жребию номер определяет положение команды в турнирной таблице:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65259/problem_65259_img_2.gif"></div>Какова вероятность того, что команды <i>А</i> и <i>B</i>:

  а) встретятся в полуфинале;

  б) встретятся в финале.

Проведите следующий эксперимент 10 раз: подбросьте вначале монету 10 раз подряд и запишите количество выпавших орлов, затем подбросьте монету 9 раз подряд и также запишите количество выпавших орлов. Назовём эксперимент удачным, если в первом случае количество выпавших орлов больше, чем во втором. После проведения серии из 10 таких экспериментов запишите количество удачных и неудачных экспериментов. Собранную статистику оформите в виде таблицы.   а) Ваня бросает монету 3 раза, а Таня – два. Какова вероятность, что у Вани больше орлов, чем у Тани?

  б) Ваня бросает монету  <i>n</i> + 1  раз, а Таня – <i>n</i> раз. Какова вероятность, что у Вани больше орлов, чем у Тани?