Олимпиадные задачи из источника «2016-2017» - сложность 3 с решениями

Изначально на доске написано натуральное число <i>N</i>. В любой момент Миша может выбрать число  <i>a</i> > 1  на доске, стереть его и дописать все натуральные делители <i>a</i>, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано <i>N</i>² чисел. При каких <i>N</i> это могло случиться?

В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка <i>видит</i> другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.

Изначально на столе лежат три кучки из 100, 101 и 102 камней соответственно. Илья и Костя играют в следующую игру. За один ход каждый из них может взять себе один камень из любой кучи, кроме той, из которой он брал камень на своем предыдущем ходе (при своём первом ходе каждый игрок может брать камень из любой кучки). Ходы игроки делают по очереди, начинает Илья. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может выиграть, как бы ни играл соперник?

Остроугольный равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  вписан в окружность с центром <i>O</i>. Лучи <i>BO</i> и <i>CO</i> пересекают стороны <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>B'</i> и <i>C'</i> соответственно. Через точку <i>C'</i> проведена прямая <i>l</i>, параллельная прямой <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>l</i> касается описанной окружности ω треугольника <i>B'OC</i>.

Каждая клетка доски 100×100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски – чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2×2. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат 2×2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.

Неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>C</i> = 60°,  вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла <i>A</i> выбрана точка <i>A'</i>, а на биссектрисе угла <i>B</i> – точка <i>B'</i> так, что  <i>AB' || BC</i>  и  <i>B'A || AC</i>.  Прямая <i>A'B'</i> пересекает Ω в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Докажите, что треугольник <i>CDE</i> равнобедренный.

Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения <i>a</i>³, <i>b</i>³ и <i>c</i>³?

Сто гномов, веса которых равны 1, 2, 3, ..., 100 фунтов, собрались на левом берегу реки. Плавать они не умеют, но на этом же берегу находится гребная лодка грузоподъемностью 100 фунтов. Из-за течения плыть обратно трудно, поэтому у каждого гнома хватит сил грести с правого берега на левый не более одного раза (грести в лодке достаточно любому из гномов; гребец в течение одного рейса не меняется). Смогут ли все гномы переправиться на правый берег?

Дана равнобокая трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i>. Окружность ω проходит через вершины <i>B</i> и <i>C</i> и вторично пересекает сторону AB и диагональ <i>BD</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке <i>C</i>, пересекает луч <i>AD</i> в точке <i>Z</i>. Докажите, что точки <i>X, Y</i> и <i>Z</i> лежат на одной прямой.

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального <i>d</i> на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2^<i>d</i>?

На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность Г c центром в точке <i>O</i>. Его диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> перпендикулярны и пересекаются в точке P, причём точка <i>O</i> лежит внутри треугольника <i>BPC</i>. На отрезке <i>BO</i> выбрана точка <i>H</i> так, что  ∠<i>BHP</i> = 90°.  Описанная окружность ω треугольника <i>PHD</i> вторично пересекает отрезок <i>PC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>AP = CQ</i>.

Окружность ω описана около остроугольного треугольника <i>ABC</i>. На стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>D</i>, а на стороне <i>BC</i> – точка <i>E</i> так, что  <i>DE || AC</i>.  Точки <i>P</i> и <i>Q</i> на меньшей дуге <i>AC</i> окружности ω таковы, что  <i>DP || EQ</i>.  Лучи <i>QA</i> и <i>PC</i> пересекают прямую <i>DE</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что  ∠<i>XBY</i> + ∠<i>PBQ</i> = 180°.

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 2¹⁰⁰⁰⁰. Докажите, что число, кратное 2¹⁰⁰⁰⁰, было на одной из карточек уже через день после начала.

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.

Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> проходит через центр <i>O</i> треугольника <i>ABC</i>. Окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> построены на отрезках <i>BP</i> и <i>CQ</i> как на диаметрах.

Докажите, что окружности Г_<i>b</i> и Г_<i>c</i> пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им <i>k</i> целых чисел <i>n</i>₁, <i>n</i>₂, ..., <i>n_k</i> и отдельно сообщит значение выражения  <i>P</i>(<i>n</i>₁)<i>P</i>(<i>n</i>₂)...<i>P</i>(<i>n_k</i>).  По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем <i>k</i> учитель сможет составить задач...

Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₂₀₁₇ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) <i>a</i>₁ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – <i>a</i>₂ камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – <i>a</i>₂₀₁₇ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 4...

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены медиана <i>AM</i> и высота <i>BH</i>. Перпендикуляр, восстановленный в точке <i>M</i> к прямой <i>AM</i>, пересекает луч <i>HB</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что если  ∠<i>MAC</i> = 30°,  то  <i>AK = BC</i>.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Равносторонний треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что отрезок <i>PQ</i> касается ω. Окружность Ω_<i>b</i> с центром <i>P</i> проходит через вершину <i>B</i>, а окружность Ω_<i>c</i> с центром <i>Q</i> – через <i>C</i>. Докажите, что окружности Ω, Ω_<i>b</i> и Ω_<i>c</i> имеют общую точку.

Существует ли треугольник, для сторон <i>x, y, z</i> которого выполнено соотношение  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = (<i>x + y</i>)(<i>y + z</i>)(<i>z + x</i>)?