Оценка. Пусть среди сфер есть r красных и  2016 – r  зелёных. Так как две сферы касаются не более чем в одной точке, количество синих точек не превосходит  r(2016 – r) = 1008² – (1008 – r)² ≤ 1008².

  Предъявим пример с таким количеством синих точек. Пусть l – некоторая прямая, α – плоскость, перпендикулярная l и пересекающая её в точке O, а ω – окружность с центром O и радиусом 1, лежащая в α. Построим 1008 красных сфер одинакового радиуса  r < 1  с различными центрами R₁, R₂, ..., R₁₀₀₈, лежащими на ω.

  Пусть G₁, G₂, ..., G₁₀₀₈ – различные точки на l, удалённые от O на расстояния d₁, d₂, ..., d₁₀₀₈. Тогда расстояние между G_i и любой точкой R_j равно  .  Значит, если мы построим зелёную сферу с центром G_i и радиусом  ,  она будет касаться всех красных сфер. При этом все точки касания будут попарно различными, поскольку они лежат на отрезках вида R_jG_i, которые не имеют общих точек, кроме концов. Значит, в нашей конструкции действительно будут отмечены 1008² синих точек.

1008² = 1016064 точки.