Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 9 класса - сложность 1-3 с решениями

На доске написано уравнение  <i>x</i>³ + *<i>x</i>² + *<i>x</i> + * = 0.  Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася – любую из двух оставшихся, а затем Петя – оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?

В языке племени АУ две буквы – "a" и "y". Некоторые последовательности этих букв являются словами, причём в каждом слове не меньше одной и не больше 13 букв. Известно, что если написать подряд любые два слова, то полученная последовательность букв не будет словом. Найдите максимальное возможное количество слов в таком языке.

Стозначное натуральное число <i>n</i> назовём <i>необычным</i>, если десятичная запись числа <i>n</i>³ заканчивается на <i>n</i>, а десятичная запись числа <i>n</i>² не заканчивается на <i>n</i>. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.

Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.

Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.

Какое из чисел больше:  (100!)!  или  99!^100!·100!^99!?

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Оказалось, что точки <i>B</i>, <i>D</i>, а также середины <i>M</i> и <i>N</i> отрезков <i>AC</i> и <i>KC</i> лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол <i>ADC</i>?

Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, кратное 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?

Число <i>x</i> таково, что среди четырёх чисел   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64622/problem_64622_img_2.gif">   ровно одно не является целым.

Найдите все такие <i>x</i>.

Все клетки квадратной таблицы 100×100 пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до 10000. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает <i>k</i> клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером <i>a</i>, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем <i>a</i>; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем <i>a</i>. При каком наименьшем <i>k</i> независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?

Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и <i>N</i>, где  <i>N</i> > 5.  Какое наименьшее значение может иметь число <i>N</i>?

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны.

Докажите, что если биссектрисы углов <i>DAC, DBC, ACB</i> и <i>ADB</i> образовали ромб, то  <i>AB = CD</i>.

Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.

Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?