Задача
Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.
Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?
Решение
Пусть это случилось. Обозначим такие числа a1, a2, ..., a111, а их сумму – через S. По условию, для каждого k числа ak и S – ak оканчиваются одной и той же цифрой. Отсюда следует, что разность этих чисел, равная S – 2ak, делится на 10. Следовательно, при любом k число 2ak оканчивается последней цифрой суммы S. Это означает, что разность между каждыми двумя числами ak кратна 5. Итак, все 111 различных чисел ai должны давать одинаковые остатки от деления на 5. Но среди чисел от 1 до 500 ровно по 100 чисел, дающих фиксированный остаток от деления на 5. Противоречие.
Ответ
Не могло.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь