Олимпиадные задачи из источника «2006-2007» - сложность 2 с решениями

Для натурального  <i>n</i> > 3  будем обозначать через <i>n</i>? (<i>n-вопросиал</i>) произведение всех простых чисел, меньших <i>n</i>. Решите уравнение  <i>n</i>? = 2<i>n</i> + 16.

Через точку <i>I</i> пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Треугольник <i>BMN</i> оказался остроугольным. На стороне <i>AC</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что  ∠<i>ILA</i> = ∠<i>IMB</i>,  ∠<i>IKC</i> = ∠<i>INB</i>.  Докажите, что

<i>AM + KL + CN = AC</i>.

От Майкопа до Белореченска 24 км. Три друга должны добраться: двое из Майкопа в Белореченск, а третий – из Белореченска в Майкоп. У них есть один велосипед, первоначально находящийся в Майкопе. Каждый из друзей может идти (со скоростью не более 6 км/ч) и ехать на велосипеде (со скоростью не более 18 км/ч). Оставлять велосипед без присмотра нельзя. Докажите, что через 2 часа 40 минут все трое друзей могут оказаться в пунктах назначения. Ехать на велосипеде вдвоём нельзя.

На стороне <i>BC</i> ромба <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>. Прямые, проведённые через <i>M</i> перпендикулярно диагоналям <i>BD</i> и <i>AC</i>, пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>PB, QC</i> и <i>AM</i> пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  <i>BM</i> : <i>MC</i>?

Даны числа <i>a, b, c</i>.

Докажите, что хотя бы одно из уравнений  <i>x</i>² + (<i>a – b</i>)<i>x</i> + (<i>b – c</i>) = 0,  <i>x</i>² + (<i>b – c</i>)<i>x</i> + (<i>c – a</i>) = 0,  <i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a – b</i>) = 0  имеет решение.

Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  выбрана точка <i>M</i> таким образом, что  ∠<i>AMC</i> = 2∠<i>B</i>.  На отрезке <i>AM</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что

∠<i>BKM</i> = ∠<i>B</i>.  Докажите, что  <i>BK = KM + MC</i>.

Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя?

В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.

Докажите, что все восемь отрезков равны.

25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.

Петя придумал 1004 приведённых квадратных трёхчлена  <i>f</i>₁, ...,  <i>f</i>₁₀₀₄,  среди корней которых встречаются все целые числа от 0 до 2007. Вася рассматривает всевозможные уравнения  <i>f_i = f_j</i>  (<i>i ≠ j</i>),  и за каждый найденный у них корень Петя платит Васе по рублю. Каков наименьший возможный доход Васи?

Для вещественных  <i>x > y</i> > 0  и натуральных  <i>n > k</i>  докажите неравенство  (<i>x^k – y^k</i>)^<i>n</i> < (<i>xⁿ – yⁿ</i>)^<i>k</i>.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом <i>k</i>  (1 ≤ <i>k</i> ≤ 25)  в любых <i>k</i> коробках лежат шарики ровно  <i>k</i> + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.