Олимпиадные задачи из источника «1995-1996» для 7 класса

Имеется 4 монеты, из которых 3 – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за три взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил (в уме) сумму этих чисел на их произведение. После этого Незнайка стёр самое маленькое число и поделил (опять в уме) сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Незнайка стёр?

Точечный прожектор, находящийся в вершине <i>B</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i>, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла <i>ABC</i>, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны <i>AC</i> можно составить треугольник.

Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8×8, чтобы в каждых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в каждых двух строках – различным?

На столе лежат <i>n</i> спичек  (<i>n</i> > 1).  Двое игроков по очереди снимают их со стола. Первым ходом игрок снимает со стола любое число спичек от 1 до  <i>n</i> – 1,  а дальше каждый раз можно брать со стола не больше спичек, чем взял предыдущим ходом партнер. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все <i>n</i>, при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.

Назовем билет с номером от 000000 до 999999<i>отличным</i>, если разность некоторых двух соседних цифр его номера равна 5. Найдите число отличных билетов.

Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется  400⁵ – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4)  рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

<center><i> <img src="/storage/problem-media/109895/problem_109895_img_2.gif"> </i></center> В одном из узлов шестиугольника со стороной<i> n </i>, разбитого на правильные треугольники<i> (см. рис.) </i>, стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?

Существует ли выпуклый пятиугольник (все углы меньше180<i>^o </i>)<i> ABCDE </i>, у которого все углы<i> ABD </i>,<i> BCE </i>,<i> CDA </i>,<i> DEB </i>и<i> EAC </i>– тупые?