Олимпиадные задачи из источника «1993-1994» - сложность 4-5 с решениями
1993-1994
НазадВнутри круга расположены точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub></i>, а на его границе – точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, ..., <i>B<sub>n</sub></i> так, что отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub>B<sub>n</sub></i> не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки <i>A<sub>i</sub></i> в точку <i>A<sub>j</sub></i>, если отрезок <i>A<sub>...
На боковых ребрах<i> SA </i>,<i> SB </i>и<i> SC </i>правильной треугольной пирамиды<i> SABC </i>взяты соответственно точки<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>и<i> C<sub>1</sub> </i>так, что плоскости<i> A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> </i>и<i> ABC </i>параллельны. Пусть<i> O </i>– центр сферы, проходящей через точки<i> S </i>,<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C<sub>1</sub> </i>. Докажите, что прямая<i> SO </i>перпендикулярна плоскости<i> A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C </i>.
На прямой отмечены<i> n </i>различных синих точек и<i> n </i>различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.
На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй – 200, а в третьей – 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?
В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше; если <i>A</i> учится лучше <i>B</i>, а тот – лучше <i>C</i>, то <i>A</i> учится лучше <i>C</i>.)
Игроки <i>A</i> и <i>B</i> по очереди ходят конем на шахматной доске 1994×1994. Игрок <i>A</i> может делать только горизонтальные ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку <i>B</i> разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок <i>A</i> ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока <i>A</i> существует выигрышная стратегия.
Высоты <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> и <i>DD</i><sub>1</sub> тетраэдра <i>ABCD</i> пересекаются в центре <i>H</i> сферы, вписанной в тетраэдр <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>.
Докажите, что тетраэдр <i>ABCD</i> – правильный.
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
Внутри выпуклого стоугольника выбрано<i> k </i>точек,2<i><img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> k<img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> </i>50. Докажите, что можно отметить2<i>k </i>вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри2<i>k </i>-угольника с отмеченными вершинами.
Каждая из окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2и<i> S</i>3касается внешним образом окружности<i> S </i>(в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно) и двух сторон треугольника<i> ABC </i>(см.рис.). Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1пересекаются в одной точке.
Пусть<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>– стороны треугольника,<i> m<sub>a</sub> </i>,<i> m<sub>b</sub> </i>и<i> m<sub>c</sub> </i>– медианы, проведённые к этим сторонам,<i> D </i>– диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что <center><i>
<img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_4.gif"> <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_5.gif"> </i>6<i>D.
</i></center>