Олимпиадные задачи из источника «1992-1993» - сложность 1-2 с решениями

Три прямоугольных треугольника расположены в одной полуплоскости относительно данной прямой <i>l</i> так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная <i>l</i>, пересекающая треугольники по равным отрезкам. Докажите, что если расположить треугольники в одной полуплоскости относительно прямой <i>l</i> так, чтобы другие их катеты лежали на прямой <i>l</i>, то также найдётся прямая, параллельная <i> l </i>, пересекающая их по равным отрезкам.

Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

Докажите, что для любых действительных чисел <i>a</i> и <i>b</i> справедливо неравенство  <i>a</i>² + <i>ab + b</i>² ≥ 3(<i>a + b</i> – 1).

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Найдите все натуральные числа <i>n</i>, для которых сумма цифр числа 5<i>ⁿ</i> равна 2<i>ⁿ</i>.

Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?

Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках<i> A₁ </i>,<i> A₂ </i>,<i> B₁ </i>,<i> B₂ </i>,<i> C₁ </i>,<i> C₂ </i>,<i> D₁ </i>и<i> D₂ </i>960. Докажите, что если<i> A₁B₂=B₁C₂=C₁D₂=D₁A₂ </i>, то четырехугольник, образованный прямыми<i> A<sub>1</sub...

Целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что  (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>) = <i>x + y + z</i>.  Докажите, что число  <i>x + y + z</i>  делится на 27.

Натуральное число <i>n</i> таково, что числа  2<i>n</i> + 1  и  3<i>n</i> + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5<i>n</i> + 3  быть простым?