Олимпиадные задачи из источника «25 (2002), математика»

Многогранник вписан в сферу. Может ли оказаться, что этот многогранник невыпуклый? (Многогранник вписан в сферу, если все концы его рёбер лежат на сфере.)

Разделим каждое четырёхзначное число на сумму его цифр. Какой самый большой результат может получиться?

Дан квадрат со стороной 1. Каждая его сторона разбита на три равные части. Через точки деления проведены отрезки (см. рис. 1). Найдите площадь заштрихованного квадратика.<table> <tr><td><img src="/storage/problem-media/107726/problem_107726_img_2.gif"></td></tr> <tr><td>Рис. 1</td></tr> </table>

Даны прямая и точка вне неё. Как с помощью циркуля и линейки построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку, проведя при этом возможно меньшее число линий (окружностей и прямых), так что последняя проведённая линия — это искомая прямая? Какого числа линий Вам удалось добиться?

Известно, что  <i>х</i> = 2<i>а</i>⁵ = 5<i>b</i>² > 0,  числа <i>а</i> и <i>b</i> – целые. Каково наименьшее возможное значение <i>х</i>?

Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные.

В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?

На протяжении некоторого года (от 1 января до 31 декабря включительно) количество вторников было равно количеству четвергов. Следует ли из этого, что и количество сред было такое же? Рассмотрите два случая: а) в году было 365 дней, б} в году было 366 дней.