Олимпиадная задача по планиметрии: построение параллельной прямой через точку, 7-10 класс

Дана прямаяаи точкаО(обозначения). Отметим на прямой две произвольные точкиАиВ. Проведём окружность с центром в точкеВрадиусаАО, и окружность с центром в точкеОрадиусаАВ. Они пересекутся в точкеX. ЧетырёхугольникАОХВ— параллелограмм, так как его противолежащие стороны равны. Теперь можно провести искомую прямую —ОХ.

Рис. 1

Излагая это же решение другими словами, можно сказать, что мы стандартным способом построили треугольникBOXпо двум вершинам (ВиО) и длинам двух сторон, равных длинам отрезковАОиАВ. Очевидно, что ΔАВО= ΔХОВ(по трём сторонам). ПоэтомуАВО=XOB, а это внутренние накрестлежащие углы для прямыхаиОХи секущейВО. Из равенства этих углов следует, чтоаиОХпараллельны. Другое решение. Отметим на прямой произвольную точкуАи проведём через точкуОокружность с центром в точкеА. Эта окружность пересекает прямую в двух точках; обозначим их черезМиN. Далее измерим (см. разъяснениев конце задачи) циркулем отрезокМОи проведём с центром в точкеNокружность радиусаМО. Искомая прямая проходит через точкуОи точкуВпересечения двух построенных окружностей.

Рис. 2

ΔMАО= ΔNABпо трём сторонам, следовательно, равны и высоты этих треугольников, проведённые из вершинОиВ. Основания этих треугольников (МАиNA) лежат на прямойа, поэтому точкиОиВнаходятся от прямойана одинаковом расстоянии. Недостатком этого решения является то, что если точкаАслучайно оказалась основанием перпендикуляра, проведённого из точкиО, то точкиОиВсовпадают и не определяют нужной нам прямой. На самом деле этот же недостаток "замаскирован" и в первом решении, в предложении "Отметим на прямой две произвольные точкиАиВ". Если точки произвольные, то они случайно могут совпасть (и тогда построение не получится), а дляпостроенияна прямой двух несовпадающих точек придётся проводить дополнительные линии. Докажем теперь, что двумя линиями обойтись нельзя. Второй линией должна стать искомая прямая. Чтобы её провести, нужно получить вторую точку, находящуюся на том же расстоянии от прямойа, что и точкаО. Но после проведения одной линии все точки этой линии, кроме точек пересечения с прямойа, будут неразличимы, и найти вторую точку, находящуюся на нужном расстоянии от прямойа, построив только одну линию, невозможно. Пояснение. В решении мы упоминали параллелограмм, треугольники, секущуюВОи углы. Однако для построения нам были нужны только точки (вершины параллелограмма и треугольников, концы отрезка секущей, концы отрезков, образующих углы), сами же отрезки для построения нужны не были, поэтому мы их не проводили и, разумеется, не учитывали при подсчёте проведённых линий. Разъяснение к задаче. В классических трудах по геометрии обсуждается вопрос о том, какие построения с помощью циркуля и линейки в принципе возможны, но не обсуждается число операций, необходимых для того или иного построения. Между тем, в этом вопросе могут возникнуть разночтения. Так, в классической книге "Начала" Эвклида считается невозможным измерить циркулем расстояние и перенести его для построения окружности с произвольным центром. Но в теореме 2 этой книги доказывается, что перенесение измеренного расстояния возможно, однако не за одно действие, а с помощью некоторого построения, выполняемого за несколько действий.

После этой теоремы можно забыть о том, как переносится расстояние — за одно действие или за несколько — если только речь идёт о принципиальной возможности построения, а не о числе необходимых построений.

В современных книгах по геометрии принято считать что никаких особых построений для перенесения расстояния не требуется. Так, в известном учебнике Погорелова сказано, что если даны центр и радиус, то окружность считается построенной. В данном случае задаче авторы исходят из этой точки зрения.

3 линии.