Олимпиадная задача: Многогранник, вписанный в сферу — всегда ли он выпуклый?
Задача
Многогранник вписан в сферу. Может ли оказаться, что этот многогранник невыпуклый? (Многогранник вписан в сферу, если все концы его рёбер лежат на сфере.)
Решение
Приведём пример невыпуклого многогранника, вписанного в сферу. Возьмём правильный октаэдр, опишем вокруг него сферу. Теперь возьмём две его соседние граниABCиBCD, удалим их вместе с ребромВС, а вместо этого добавим реброADи граниABDиACD. ОтрезокВСбольше не принадлежит фигуре, поэтому она невыпуклая. Но вершины у этого многогранника, те же, что и у правильного октаэдра. Следовательно, многогранник вписанный. Можно было действовать следующим образом. Возьмём куб и проделаем в нём "дырку" в виде прямоугольного параллелепипеда (сквозь две параллельные грани куба). Затем восемь точек, краёв "дырки", соединим рёбрами с ближайшими вершинами куба и "поднимем" ("опустим") их на сферу, описанную вокруг куба.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь