Олимпиадные задачи из источника «09 (1986)» для 8 класса

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.

<i>a, b, c, d</i> – стороны четырёхугольника (в любом порядке), <i>S</i> – его площадь. Докажите, что  <i>S</i> ≤ ½ (<i>ab + cd</i>).

Из шахматной доски вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать эту фигуру?

Докажите, что произведение ста последовательных натуральных чисел не может быть сотой степенью натурального числа.

"Крокодилом" называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на <i>N</i> клеток в перпендикулярном направлении (при  <i>N</i> = 2  "крокодил" – это шахматный конь).

При каких <i>N</i> "крокодил" может пройти с каждой клетки бесконечной шахматной доски на любую другую?

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>a</i>₄, <i>a</i>₅, <i>a</i>₆ – последовательные стороны шестиугольника, все углы которого равны. Докажите, что  <i>a</i>₁ – <i>a</i>₄ = <i>a</i>₃ – <i>a</i>₆ = <i>a</i>₅ – <i>a</i>₂.

Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.

Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.

Квадратная площадь размером 100×100 выложена квадратными плитами 1×1 четырёх цветов: белого, красного, чёрного и серого – так, что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом (то есть не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть красных плит?

Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

Известно, что  <i>a + b + c</i> = 5  и  <i>ab + bc + ac</i> = 5.  Чему может равняться  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²?

Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.

В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.

За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?

Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 1986?