Задачи и олимпиады по математике

Задача

Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.

Решение

Обозначим наш квадрат ABCD, а данную внутри него точку M. Пусть ∠MDC = ∠MCD = 15°.

Решим обратную задачу. Построим на стороне AB квадрата равносторонний треугольник ABN так, чтобы вершина N лежала внутри квадрата (см. рис.).

ТреугольникCNB– равнобедренный. Его угол при вершинеBравен 30°, следовательно, угол при основании равен (180° – 30°) : 2 = 75°. Отсюда ∠DCN= 90° – 75° = 15°. Аналогично, ∠CDN= 15°. Значит, точкаNлежит на лучеCMи на лучеDMи, тем самым, совпадает сM.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления