Олимпиадные задачи из источника «23 турнир (2001/2002 год)» для 11 класса - сложность 3 с решениями

В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.

Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он может рассадить всех на свои места?

Существуют ли такие иррациональные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  <i>a </i> > 1,  <i>b</i> > 1,  и  [<i>a^m</i>]  отлично от  [<i>bⁿ</i>]  при любых натуральных числах <i>m</i> и <i>n</i>?

Колоду из 52 карт разложили в виде прямоугольника 13×4. Известно, что если две карты лежат рядом по вертикали или горизонтали, то они одной масти либо одного достоинства. Докажите, что в каждом горизонтальном ряду (из 13 карт) все карты одной масти.

Верно ли, что на графике функции  <i>y = x</i>³  можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции  <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1  – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превысит ¹/₁₀₀?

Существует ли правильная треугольная призма, которую можно оклеить (без наложений) различными равносторонними треугольниками? (Разрешается перегибать треугольники через рёбра призмы.)

Сколькими способами можно расставить числа от 1 до 100 в прямоугольнике 2×50 так, чтобы каждые два числа, различающиеся на 1, всегда попадали бы в клетки с общей стороной?

Есть шесть кусков сыра разного веса. Известно, что можно разложить сыр на две кучки по три куска так, чтобы кучки весили поровну.

Как можно сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь, если про любые два куска на глаз видно, какой весит больше?

В ряд стоят 23 коробочки с шариками, причём для каждого числа <i>n</i> от 1 до 23 есть коробочка, в которой ровно <i>n</i> шариков. За одну операцию можно переложить в любую коробочку еще столько же шариков, сколько в ней уже есть, из какой-нибудь другой коробочки, в которой шариков больше. Всегда ли можно такими операциями добиться, чтобы в первой коробочке оказался 1 шарик, во второй – 2 шарика, ..., в 23-й – 23 шарика?

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального <i>n</i> в <i>n</i>-м члене подчёркнутые цифры образовали число <i>n</i>). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

Пусть <i>F</i>₁, <i>F</i>₂, <i>F</i>₃, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где <i>F</i>_<i>k</i>+1  (при <i>k</i> = 1, 2, 3, ...)  получается так: <i>F_k</i> разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках.

Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?

Существуют ли такие натуральные числа  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>₁₀₀,  что  НОК(<i>a</i>₁, <i>a</i>₂) > НОК(<i>a</i>₂, <i>a</i>₃) > ... > НОК(<i>a</i>₉₉, <i>a</i>₁₀₀)?

Известно, что число 2³³³ имеет 101 цифру и начинается с цифры 1. Сколько чисел в ряду 2, 4, 8, 16, ..., 2³³³ начинается с цифры 4?

По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся пять одинаковых шариков, а навстречу им движутся пять других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдёт между шариками?