Олимпиадная задача по теории чисел и индукции для 9-11 класса от Шаповалова А. В.

  Покажем как последовательно строить требуемые наборы.

  Для двух чисел годится любой набор, в котором первое число меньше второго.

  Пусть построен удовлетворяющий условию набор из k чисел:  a₁ < ... < a_k.  Возьмём два таких простых числа p и q, что  q > p > a_k.  Построим возрастающий набор из  k + 1  числа:  b₁ = p,  b₂ = qa₁,  b₃ = qa₂,  ...,  b_k+1 = qa_k.  Заметим, что

    НОК(b_n, b_n+1) = q·НОК(a_n–1, a_n)  при  n > 1,  а

    НОК(b₁, b₂) = pqa₁ > qa₁a₂ > q·НОК(a₁, a₂) = НОК(b₂, b₃).

  Таким образом, для нового набора все требуемые неравенства выполнены.

Существуют.