Задание олимпиады: арифметическая прогрессия и степень числа 10

Задача

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

Решение

Пусть первое число A₁ = a₁...a_m, а разность прогрессии D = d₁...d_k.

Рассмотрим число n, гораздо большее чем m и k. Положим i = 1 + 10ⁿ. Тогда в i-м члене подчёркнуто число Но это можно сделать (так как a₁ ≠ 0) только в случае, когда a₁ = 1, а D оканчивается на "Расположить" в этом числе число можно только если k – m = 0. Следовательно, D = 10^m–1.