Олимпиадная задача по теории чисел: доказательство для прямоугольника из 52 карт

  Назовём прямоугольник, составленный из карт, однородым, если он содержит одинаковое по чётности число карт каждой масти. Например, прямоугольник 4×13 однороден: он содержит по 13 карт каждой масти. Докажем, что любой квадрат 2×2 однороден. Рассмотрим три случая.

  1) Какая-то карта в этом квадрате совпадает со своими соседками по масти. Тогда четвёртая (противоположная первой) карта – той же масти, так как не может совпадать с обеими своими соседками – картами одной масти – по достоинству. Таким образом, квадрат содержит четыре карты одной масти (и по 0 карт каждой из остальных).

  2) Какая-то карта квадрата совпадает со своими соседками по достоинству. Тогда все четыре карты одного достоинства, то есть каждая масть "представлена" в квадрате одной картой.

  3) Каждая карта квадрата совпадает с одной из своих соседок по масти, а с другой – по достоинству. Тогда, очевидно, квадрат содержит две карты одной масти и две – другой.

  Следовательно, любой прямоугольник, разбивающийся на квадраты 2×2, (в частности, размера 4×2 и 4×12) однороден. Тогда и первый столбец прямоугольника 4×13 (как "разность" однородных прямоугольников 4×12 и 4×13) однороден. Но тогда и соседний с ним столбец (как "разность" однородных прямоугольников 4×2 и 4×1) также однороден. Аналогично доказывается однородность всех столбцов.

  Количество пик в колоде нечётно, поэтому найдётся столбец, в котором количество пик нечётно. В силу однородности он содержит нечётное количество карт (то есть одну) каждой масти. Но тогда каждая из них совпадает по масти со своей соседкой из соседнего столбца. То же верно и для следующих столбцов, то есть в каждом горизонтальном ряду все карты одной масти.

Ответ задачи отсутствует