Олимпиадные задачи из источника «21 турнир (1999/2000 год)» для 10 класса - сложность 2 с решениями

На бумаге "в клеточку" нарисован выпуклый многоугольник <i>M</i>, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идёт по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключённых внутри <i>M</i>, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри <i>M</i>.

Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> взаимно просты (не имеют общего делителя, отличного от единицы). Дробь   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98481/problem_98481_img_2.gif">   можно сократить на число <i>d</i>.

Каково наибольшее возможное значение <i>d</i>?

Существует ли такая бесконечная последовательность, состоящая из

  а) действительных

  б) целых

чисел, что сумма любых десяти подряд идущих чисел положительна, а сумма любых первых подряд идущих  10<i>n</i> + 1  чисел отрицательна при любом натуральном <i>n</i>?

Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98473/problem_98473_img_2.gif">   при любых натуральных <i>n</i> и <i>k</i>.

На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных – по две точки, и на двух оставшихся – по три точки. Из восьми таких кубиков сложили куб 2×2×2 и посчитали суммарное число точек на каждой из его шести граней.

Могли ли получиться шесть последовательных чисел?

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника. Оказалось, что сумма площадей двух противоположных (имеющих только общую вершину) треугольников равна сумме площадей двух других треугольников. Докажите, что одна из диагоналей делится другой диагональю пополам.

Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?

Вневписанные окружности касаются сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что прямая, соединяющая середины <i>KL</i> и <i>AB</i>,

  а) делит периметр треугольника <i>ABC</i> пополам;

  б) параллельна биссектрисе угла <i>ACB</i>.

На прямоугольном листе бумаги отмечены

  а) несколько точек на одной прямой;

  б) три точки.

Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем один раз шилом проколоть сложенный лист насквозь. Докажите, что это можно сделать так, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.

При каких  <i>n</i> > 2  можно расставить целые числа от 1 до <i>n</i> по кругу так, чтобы сумма каждых двух соседних чисел делилась нацело на следующее за ними по часовой стрелке?

Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?

В пространстве проведено <i>n</i> плоскостей. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.

Докажите, что существует бесконечно много нечётных <i>n</i>, для которых число  2<i>ⁿ + n</i>  – составное.

В треугольнике точку пересечения биссектрис соединили с вершинами, в результате он разбился на 3 меньших треугольника. Один из меньших треугольников подобен исходному. Найдите его углы.

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?