Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

В Италии выпускают часы, в которых часовая стрелка делает в сутки один оборот, а минутная – 24 оборота, причём, как обычно, минутная стрелка длиннее часовой (в обычных часах часовая стрелка делает в сутки два оборота, а минутная – 24). Рассмотрим все положения двух стрелок и нулевого деления итальянских часов, которые встречаются и на обычных часах. Сколько таких положений существует на итальянских часах в течение суток? (Нулевое деление отмечает 24 часа в итальянских часах и 12 часов в обычных часах.)

На плоскости проведено <i>n</i> прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.

Рассматриваются тройки целых чисел <i>a, b</i> и <i>c</i>, для которых выполнено условие:  <i>a + b + c</i> = 0.  Для каждой такой тройки вычисляется число

<i>d = a</i>¹⁹⁹⁹ + <i>b</i>¹⁹⁹⁹ + <i>c</i>¹⁹⁹⁹.   Может ли случиться, что

  а)  <i>d</i> = 2?

  б) <i>d</i> – простое число?

Бумажный прямоугольный треугольник перегнули по прямой так, что вершина прямого угла совместилась с другой вершиной.

  а) В каком отношении делятся диагонали полученного четырёхугольника их точкой пересечения?

  б) Полученный четырёхугольник разрезали по диагонали, выходящей из третьей вершины исходного треугольника. Найти площадь наименьшего образовавшегося куска бумаги.